Предисловие автора к первому изданию

В настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные ее приложения. Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и ее приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте.

Книга рассчитана не только на математиков (студентов, аспирантов, научных работников), но и на специалистов в смежных областях (физиков, инженеров-исследователей), интересующихся математикой и ее приложениями. Поэтому автор стремился сделать изложение материала возможно более доступным, предполагая у читателя только знакомство с теорией определителей и курсом высшей математики в объеме программы втуза. Лишь отдельные параграфы в последних главах книги требуют дополнительных математических знаний у читателя. Кроме того, автор старался сделать изложение отдельных глав возможно более независимым друг от друга. Так, например, глава V «Функции от матрицы» не опирается на материал, помещенный в главах II и III. В тех же местах главы V, где впервые используются основные понятия, введенные в главе IV, имеются соответствующие ссылки. Таким образом, читатель, уже знакомый с элементами теории матриц, имеет возможность непосредственно приступить к чтению интересующих его глав книги.

Книга состоит из двух частей, содержащих 15 глав.

В главах I и III приводятся первоначальные сведения о матрицах и линейных операторах и устанавливается связь между операторами и матрицами.

В главе II излагаются теоретические основы метода исключения Гаусса и связанных с ним эффективных методов решения системы  линейных уравнений при большом . В этой же главе читатель знакомится с техникой оперирования с матрицами, разбитыми на прямоугольные «клетки» пли «блоки».

В главе IV вводятся имеющие фундаментальное значение «характеристический» и «минимальный» многочлены квадратной матрицы, «присоединенная» и «приведенная присоединенная» матрицы.

В главе V, посвященной функциям от матрицы, даются самое общее определение и конкретные способы вычисления , где — функция скалярного аргумента , а — квадратная матрица. Понятие функции от матрицы используется в §§ 5, 6 этой главы для нахождения и полного исследования решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Как понятие о функции от матрицы, так и связанное с ним исследование системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка опираются только на понятие о минимальном многочлене матрицы и не используют (в отличие от обычного изложения) так называемой «теории элементарных делителей», которая излагается в последующих главах VI и VII.

Первые пять глав охватывают некоторый цикл сведений о матрицах и их применениях. Более глубокие вопросы теории матриц связаны с приведением матрицы к нормальной форме. нормальной форме. Это приведение проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса. Ввиду важности этой теории в книге даны два ее изложения: аналитическое — в главе VI и геометрическое — в главе VII. Обращаем внимание читателя на §§ 7 и 8 главы VI, в которых рассматриваются эффективные методы нахождения матрицы, преобразующей данную матрицу к нормальной форме. В § 8 главы VII подробно исследуется метод акад. А. Н. Крылова для практического вычисления коэффициентов характеристического многочлена.

В главе VIII решаются матричные уравнения некоторых типов. Здесь же рассматривается задача об определении всех матриц, перестановочных с данной, и детально изучаются многозначные функции от матрицы , .

Главы IX и X посвящены теории линейных операторов в унитарном пространстве и теории квадратичных и эрмитовых форм. Эти главы не опираются на теорию элементарных делителей Вейерштрасса и используют из предыдущего материала лишь основные сведения о матрицах и линейных операторах, изложенные в первых трех главах книги. В § 9 главы X дается приложение теории форм к исследованию главных колебаний системы с  степенями свободы. В § 10 этой же главы приведены тонкие исследования Фробениуса по теории ганке левых форм. Эти исследования применяются в дальнейшем в главе XV при рассмотрении особых случаев в проблеме Рауса — Гурвица.

Последние пять глав составляют вторую часть книги. В главе XI определяются нормальные формы для комплексных симметрических, кососимметрических и ортогональных матриц и устанавливаются интересные связи этих матриц с вещественными матрицами тех же классов и с унитарными матрицами.

В главе XII излагается общая теория пучков матриц вида  где  и — произвольные прямоугольные матрицы одних и тех же размеров. Подобно тому как исследование регулярных пучков матриц  проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса, изучение сингулярных пучков опирается на теорию минимальных индексов Кронекера, которая является как бы дальнейшим развитием теории элементарных делителей Вейерштрасса. С помощью теории Кронекера (автору кажется, что ему удалось упростить изложение этой теории) в главе XII устанавливается каноническая форма пучка матриц  в самом общем случае. Полученные результаты применяются к исследованию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В главе XIII излагаются замечательные спектральные свойства матриц с неотрицательными элементами и рассматриваются две важные области применений матриц этого класса: 1) однородные цепи Маркова в теории вероятностей и 2) осцилляционные свойства упругих колебаний в механике. Матричный метод исследования однородных цепей Маркова получил свое развитие в работах В. И. Романовского [29] и опирается на тот факт, что матрица переходных вероятностей в однородной цепи Маркова с конечным числом состояний является матрицей с неотрицательными элементами специального типа («стохастическая матрица»).

Осцилляционные свойства упругих колебаний связаны с другим важным классом неотрицательных матриц — с «осцилляционными матрицами». Эти матрицы и их приложения были исследованы М. Г. Крейном совместно с автором настоящей книги. В главе XIII изложены только некоторые основные результаты из этой области.

Подробное же изложение всего этого материала читатель найдет в монографии [7].

В главе XV собраны приложения теории матриц к системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В этой главе центральное место (§§ 5-9) занимают теория мультипликативного интеграла и связанное с ним инфинитезимальное исчисление Вольтерра. Эти вопросы почти совсем не освещены в советской математической литературе. В первых параграфах и в § 11 изучаются приводимые (по Ляпунову) системы в связи с задачей об устойчивости движения и приводятся некоторые результаты Н. П. Еругина. §§ 9-11 относятся к аналитической теории систем дифференциальных уравнений. Здесь выясняется ошибочность основной теоремы Биркгоффа, которую обычно используют для исследования решения системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, и устанавливается канонический вид решения в случае регулярной особой точки.

В § 12 главы XV в обзорном порядке излагаются некоторые результаты фундаментальных исследований И. А. Лаппо-Данилевского по аналитическим функциям от многих матриц и их применениям к дифференциальным системам.

Последняя глава (XVI) посвящена применениям теории квадратичных форм (и, в частности, ганкелевых форм) к проблеме Рауса-Гурвица об определении числа корней многочлена, лежащих в правой полуплоскости (). В первых параграфах этой главы приводится классическая трактовка вопроса. В § 5 дана теорема А. М. Ляпунова, в которой устанавливается критерий устойчивости, эквивалентный критерию Рауса—Гурвица. Наряду с критерием устойчивости Рауса—Гурвица в § 11 этой главы выводится сравнительно мало известный критерий Льенара и Шипара, в котором число детерминантных неравенств примерно вдвое меньше, нежели в критерии Рауса—Гурвица.

В конце главы XVI показана тесная связь с задачами устойчивости двух замечательных теорем А. А. Маркова и П. Л. Чебышева, которые были получены знаменитыми авторами на основе теории разложения в ряд по убывающим степеням аргумента некоторых непрерывных дробей специального типа. Здесь же дается матричное доказательство этих теорем.

Таков краткий перечень содержания настоящей книги.

В заключение автор приносит свою искреннюю благодарность Д. К. Фаддееву, В. П. Потапову и Д. М. Котелянскому, прочитавшим рукопись книги и сделавшим много существенных замечаний, которые были учтены автором при подготовке книги к печати. Автор выражает также свою благодарность М. Г. Крейну и А. И. Узкову за ценные советы, использованные автором при написании книги.