Предисловие автора к первому изданиюВ настоящее время матричное исчисление широко применяется в различных областях математики, механики, теоретической физики, теоретической электротехники и т. д. В то же время ни в советской, ни в иностранной литературе нет книги, которая достаточно полно освещала бы как вопросы теории матриц, так и разнообразные ее приложения. Данная книга представляет собой попытку восполнить этот пробел в математической литературе. В основе книги лежат курсы лекций по теории матриц и ее приложениям, читанные автором в разное время на протяжении последних 17 лет в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Тбилисском Государственном университете и в Московском физико-техническом институте. Книга рассчитана не только на математиков (студентов, аспирантов, научных работников), но и на специалистов в смежных областях (физиков, инженеров-исследователей), интересующихся математикой и ее приложениями. Поэтому автор стремился сделать изложение материала возможно более доступным, предполагая у читателя только знакомство с теорией определителей и курсом высшей математики в объеме программы втуза. Лишь отдельные параграфы в последних главах книги требуют дополнительных математических знаний у читателя. Кроме того, автор старался сделать изложение отдельных глав возможно более независимым друг от друга. Так, например, глава V «Функции от матрицы» не опирается на материал, помещенный в главах II и III. В тех же местах главы V, где впервые используются основные понятия, введенные в главе IV, имеются соответствующие ссылки. Таким образом, читатель, уже знакомый с элементами теории матриц, имеет возможность непосредственно приступить к чтению интересующих его глав книги. Книга состоит из двух частей, содержащих 15 глав. В главах I и III приводятся первоначальные сведения о матрицах и линейных операторах и устанавливается связь между операторами и матрицами. В главе II излагаются теоретические основы метода исключения Гаусса и связанных с ним эффективных методов решения системы В главе IV вводятся имеющие фундаментальное значение «характеристический» и «минимальный» многочлены квадратной матрицы, «присоединенная» и «приведенная присоединенная» матрицы. В главе V, посвященной функциям от матрицы, даются самое общее определение и конкретные способы вычисления Первые пять глав охватывают некоторый цикл сведений о матрицах и их применениях. Более глубокие вопросы теории матриц связаны с приведением матрицы к нормальной форме. нормальной форме. Это приведение проводится на основе теории элементарных делителей Вейерштрасса. Ввиду важности этой теории в книге даны два ее изложения: аналитическое — в главе VI и геометрическое — в главе VII. Обращаем внимание читателя на §§ 7 и 8 главы VI, в которых рассматриваются эффективные методы нахождения матрицы, преобразующей данную матрицу к нормальной форме. В § 8 главы VII подробно исследуется метод акад. А. Н. Крылова для практического вычисления коэффициентов характеристического многочлена. В главе VIII решаются матричные уравнения некоторых типов. Здесь же рассматривается задача об определении всех матриц, перестановочных с данной, и детально изучаются многозначные функции от матрицы Главы IX и X посвящены теории линейных операторов в унитарном пространстве и теории квадратичных и эрмитовых форм. Эти главы не опираются на теорию элементарных делителей Вейерштрасса и используют из предыдущего материала лишь основные сведения о матрицах и линейных операторах, изложенные в первых трех главах книги. В § 9 главы X дается приложение теории форм к исследованию главных колебаний системы с Последние пять глав составляют вторую часть книги. В главе XI определяются нормальные формы для комплексных симметрических, кососимметрических и ортогональных матриц и устанавливаются интересные связи этих матриц с вещественными матрицами тех же классов и с унитарными матрицами. В главе XII излагается общая теория пучков матриц вида В главе XIII излагаются замечательные спектральные свойства матриц с неотрицательными элементами и рассматриваются две важные области применений матриц этого класса: 1) однородные цепи Маркова в теории вероятностей и 2) осцилляционные свойства упругих колебаний в механике. Матричный метод исследования однородных цепей Маркова получил свое развитие в работах В. И. Романовского [29] и опирается на тот факт, что матрица переходных вероятностей в однородной цепи Маркова с конечным числом состояний является матрицей с неотрицательными элементами специального типа («стохастическая матрица»). Осцилляционные свойства упругих колебаний связаны с другим важным классом неотрицательных матриц — с «осцилляционными матрицами». Эти матрицы и их приложения были исследованы М. Г. Крейном совместно с автором настоящей книги. В главе XIII изложены только некоторые основные результаты из этой области. Подробное же изложение всего этого материала читатель найдет в монографии [7]. В главе XV собраны приложения теории матриц к системам дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В этой главе центральное место (§§ 5-9) занимают теория мультипликативного интеграла и связанное с ним инфинитезимальное исчисление Вольтерра. Эти вопросы почти совсем не освещены в советской математической литературе. В первых параграфах и в § 11 изучаются приводимые (по Ляпунову) системы в связи с задачей об устойчивости движения и приводятся некоторые результаты Н. П. Еругина. §§ 9-11 относятся к аналитической теории систем дифференциальных уравнений. Здесь выясняется ошибочность основной теоремы Биркгоффа, которую обычно используют для исследования решения системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, и устанавливается канонический вид решения в случае регулярной особой точки. В § 12 главы XV в обзорном порядке излагаются некоторые результаты фундаментальных исследований И. А. Лаппо-Данилевского по аналитическим функциям от многих матриц и их применениям к дифференциальным системам. Последняя глава (XVI) посвящена применениям теории квадратичных форм (и, в частности, ганкелевых форм) к проблеме Рауса-Гурвица об определении числа корней многочлена, лежащих в правой полуплоскости ( В конце главы XVI показана тесная связь с задачами устойчивости двух замечательных теорем А. А. Маркова и П. Л. Чебышева, которые были получены знаменитыми авторами на основе теории разложения в ряд по убывающим степеням аргумента некоторых непрерывных дробей специального типа. Здесь же дается матричное доказательство этих теорем. Таков краткий перечень содержания настоящей книги. В заключение автор приносит свою искреннюю благодарность Д. К. Фаддееву, В. П. Потапову и Д. М. Котелянскому, прочитавшим рукопись книги и сделавшим много существенных замечаний, которые были учтены автором при подготовке книги к печати. Автор выражает также свою благодарность М. Г. Крейну и А. И. Узкову за ценные советы, использованные автором при написании книги.
|