§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса

Рассмотрим произвольную упругую статическую систему , закрепленную па краях (например, струну, стержень, многопролетный стержень, мембрану, пластину или дискретную систему), и возьмем на ней  точек .

Мы будем рассматривать перемещения (прогибы)  точек  системы  под действием сил , приложенных в этих же точках. Мы будем предполагать, что силы и перемещения параллельны одному и тому же направлению и потому определяются своими алгебраическими величинами (рис. 1).

Рис. 1.

Кроме того, мы примем, что имеет место принцип линейного наложения сил:

1° При суммарном наложении двух систем сил соответствующие прогибы складываются.

2° При умножении величин всех сил на одно и то же вещественное число все прогибы умножаются на это число.

Обозначим через  коэффициент влияния точки  на точку , т. е. прогиб в точке  под действием единичной силы, приложенной в точке   (рис. 2). Тогда при совместном действии сил  прогибы  определятся по формулам

       .                                        (23)

Сопоставляя (23) с исходной системой (1), мы задачу отыскания решения системы уравнений (1) можем интерпретировать так:

Даны прогибы . Ищутся соответствующие силы .

Обозначим через статическую систему, получающуюся из  введением  неподвижных шарнирных опор в точках  . Коэффициенты влияния для оставшихся подвижных точек  системы  обозначим через

   

(см.рисунок 3 для ).

Рис. 2.

Коэффициент  можно рассматривать как прогиб в точке  системы  при действии единичной силы в точке  и сил реакций  в закрепленных точках . Поэтому

.                                                       (24)

С другой стороны, при этих же силах прогибы системы в  точках  равны нулю:

                                                       (25)

Если

,

то мы можем из (25) определить  и полученные выражения подставить в (24). Это исключение  можно сделать и так. К системе равенств (25) прибавим равенство (24), записанное в виде

.                                                (24')

Рассматривая (25) и (24') как систему  однородных уравнений, имеющую ненулевое решение , , получаем, что определитель этой системы равен нулю:

.

Отсюда

       .                   (26)

По этим формулам коэффициенты влияния «опорной» системы  выражаются через коэффициенты влияния исходной системы .

Но формулы (26) совпадают с формулами (13) предыдущего параграфа. Поэтому для любого  коэффициенты   в алгоритме Гаусса являются коэффициентами влияния опорной системы .

В справедливости этого основного положения можно убедиться из чисто механических соображений, но опираясь на алгебраический вывод формул (13). Для этого рассмотрим сначала частный случай одной опоры:  (рис. 3). В этом случае коэффициенты влияния системы  определятся по формулам [полагаем  в (26)]:

     .

Эти формулы совпадают с формулами (3').

Таким образом, если коэффициенты   в системе уравнении (1) являются коэффициентами влияния статической системы , то коэффициенты  в алгоритме Гаусса являются коэффициентами влияния системы . Применяя эти же соображения к системе  и вводя в ней вторую опору в точке (2), получим, что коэффициенты   в системе уравнений (4) являются коэффициентами влияния опорной системы  и вообще для любого  коэффициенты   в алгоритме Гаусса являются коэффициентами влияния опорной системы .

Из механических соображений очевидно, что последовательное введение  опор равносильно одновременному введению этих опор.

Рис. 3.

Замечание. Обращаем внимание на то, что при механической интерпретации алгоритма исключения не было необходимости предполагать, что точки, в которых рассматриваются прогибы, совпадают с точками приложения сил . Можно считать, что  — прогибы точек , а силы  приложены в точках . Тогда  — коэффициент влияния точки  на точку . В этом случае вместо опоры в точке  следует от рассматривать обобщенную опору в точках , , при которой прогиб в точке  поддерживается все время равным нулю за счет надлежащим образом выбранной вспомогательной силы  в точке . Условие возможности введения  обобщенных опор в точках , т. е. возможность удовлетворить условиям  при любых  за счет надлежащих , выражается неравенством

.