4.1. Асимптотическая оценка  методов декодирования избыточных кодов

Для многих задач теории связи типична неасимптотическая постановка проблемы, когда требуется построить наилучшие для данной схемы и при данном объеме статистического материала оценки. Однако решение не асимптотических задач оценивания, как правило, не может являться объектом достаточно общей теории. Важной задачей является выбор  оценок, которые не совпадают с оптимальными для данного распределения, данного объема статистического материала. Но эти оценки приближаются к оптимальным, когда те или иные параметры задачи стремятся к предельным значениям (неограниченно возрастает объем выборки, стремится к нулю интенсивность шума и т.п.) [61].

В современных телекоммуникационных системах в качестве критерия эффективности применения в них помехоустойчивого кодирования выбирают значение получаемого от этой процедуры энергетического выигрыша.

Известно, что в канале с гауссовским шумом при , где –энергия сигнала, приходящаяся на бит, - спектральная плотность гауссовского шума, в случае жестких решений энергетический выигрыш оценивается выражением

                                       дБ,                                      (4.1)

а при реализации мягкого декодирования

                                        дБ.                                       (4.2)

В приведенных формулах:  .– по-прежнему безразмерная характеристика кода (ХК), по сути, определяющая долю введенной в код избыточности, где  - число информационных символов в кодовом векторе длины , – число, исправляемых кодом ошибок, а – метрика Хэмминга [57]. Отсюда следует, что при соотношении  асимптотический выигрыш при мягком декодировании в два раза выше (на 3 дБ), чем при жестких решениях. Приведенные оценки справедливы для систем, в которых символы кодовых комбинаций не имеют веса (жесткое декодирование), либо вес, связанный с индексом достоверности символа, т.е. с условиями обработки символа в непрерывном канале связи (мягкое декодирование). Указанные соотношения показывают, что безызбыточное кодирование при ,  и  в рассматриваемых системах не в состоянии обеспечить какой-либо энергетический выигрыш.

Вместе с этим, известны методы декодирования помехоустойчивых кодов, которые реализуют квазимаксимальное использование введенной в код избыточности. Это означает, что код способен исправить больше ошибок (стираний), чем это возможно при использовании метрики  Хэмминга. Указанное свойство блоковых кодов можно проследить на стандартной расстановке кода, из которой становится ясно, что код может исправить ошибки большей кратности, чем это предписывает метрика Хэмминга.

В этом случае асимптотической оценкой энергетического выигрыша от применения блокового двоичного  кода может служить выражение   

дБ.                              (4.3)

Предполагается, что  . Примем  как поправочный коэффициент, значение которого при асимптотическом оценивании положим равным нулю. Условие   справедливо не для всех кодов.

Известно, что недвоичные коды, например, коды РС достигаю значения , что нельзя сказать о двоичных кодах, которые в большинстве своем не являются максимально декодируемыми кодами [83]. Вместе с этим, вопрос о степени приближения двоичных кодов к возможной асимптотической (квазимаксимальной) границе остается открытым. Оценивая в последующем коэффициент , можно определить максимальные возможности применяемого в системе кода. Асимптотическое оценивание системы избыточного кодирования показывает, что максимальное значение энергетического выигрыша может быть достигнуто  при ХК  близкой к  [28, 30, 41 , 42, 61].

Оценка возможности декодирования двоичных кодов как блоковых, так и сверточных за пределами границ, обозначенных метрикой Хэмминга важна с точки зрения применения этих кодов в составе композиции кодов в виде последовательных или параллельных соединений кодеков. Асимптотические характеристики некоторых кордов БЧХ при =0 приведены на рис. 4.1.

Используя (4.3), оценим возможности классической схемы каскадного кодирования на основе кода РС. Пусть в системе обмена информацией используется код БЧХ (15,7,5). Из рис. 4.1 понятно, что данный код среди кодов подобной длины () обеспечивает максимальный энергетический выигрыш.

Рис. 4.1. Асимптотические границы для некоторых кодов БЧХ

Если в системе с каскадным кодированием применить код РС (128,120,9), то при использовании традиционных подходов будет обеспечен выигрыш до 15 дБ. При полном использовании введенной в код избыточности выигрыш может достигать значения 26 дБ. Это способно обеспечить функционирование системы связи даже в условиях организованных помех.