1.3. Задача синтеза телекоммуникационных систем  как минимаксная задача

При постановке задачи синтеза телекоммуникационной системы (ТКС) полагаются заданными: множество X рассматриваемых в задаче объектов (допустимых вариантов построения систем), множество Y условий функционирования систем и функционал Q: X×Y→R, определяющий значение Q{X,Y} показателя эффективности (ПЭ) для любых элементов  x  X   и  y  Y. Здесь параметр R соответствует множеству вещественных чисел. Процедура задания конструкций X, Y  и  Q{} и их вариаций в терминах возможных вариантов построения и характеристик реальных объектов составляют неформальную сторону модели класса исследуемых систем [97].

Формальная часть модели заключается в даль­нейшем использовании данных конструкций для постановки и решения мате­матических задач синтеза систем.

Классическая задача синтеза формулируется при задании некоторого элемента y0Y, определяющего условия функционирования синтезируемой системы. Она заключается в максимизации ПЭ Q{x, y0} для заданных условий  функционирования системы элементами xX и   записывается в виде  Q{x, y0}→ max  при   xX.

В качестве решений задачи синтеза в [97] рассматривается множество  X(X,y0), так называемых, -оптимальных систем , определяемое выражением

                      X(X,y0) Q{x, y}                          (1.2)

для любых x  X.  

Другими словами, изменение варианта построения системы относительно -оптимального не может повысить эффективность ее функционирования в условиях y0 более чем на величину . При этом необходимость рассмотрения -оптимальных решений для случая  обусловлена как целесообразность упрощения методов их поиска и нахождения просто реализуемых решений, так и принципиальным отсутствием оптимальных элементов (при ) для определенных конструкций  X и Q{x, y0}.

В последнем случае X0(X, y0) =    и задача поиска оптимального элемента по существу теряет смысл. Из определения -оптимальной системы  также вытекает, что при ее применении в условиях  обеспечивается значение ПЭ, равное 

Q{}Q{x, y0} при   x  X.

С точки зрения  общего подхода к синтезу телекоммуникационной системы  множество  Y  целесообразно рассматривать как совокупность двух подмножеств Yоп­, в котором условия функционирования системы априори определены и подмножества  Yно, в котором  подобные условия  до реального применения системы остаются неопределенными. Последнее условие характерно для систем предназначенных для использования в игровых ситуациях с антагонистическими интересами.

При создании системы в условиях неопределенности полагается неполное задание функционирования проектируемой системы. Фактически в этом случае определяется целый класс сред (например, множество Yно), в которых может применяться система. При этом для формулировки математически корректной задачи, так или иначе, используются дополнительные сведения об условиях применения системы, содержание которых и порождает различные подходы к ее синтезу.

Важным свойством класса условий Yно, приводящим к специфическим задачам синтеза систем, является их конфликтность. Сущность конфликтной среды заключается в том, что конкретизация элемента y  Yно, для данной системы x может осуществляться противной стороной (противником), целью которой является решение противоположной задачи (т.е. уменьшение значения ПЭ Q{}). Целесообразность рассмотрения задачи синтеза в данном случае обусловлена практической необходимостью проектирования систем, функционирование которых предполагается при применении противником средств, специально разработанных для подавления проектируемой системы. Не рассматривая подробно системы подобного типа, следует указать, что элементы множества  Yно  в системе рассчитанной для условий  Yоп­ могут проявиться в случаях возникновения  нештатных ситуаций или иных обстоятельств, связанных с ростом нагрузки или отказом оборудования.   Пусть, например, для функционирования в подобных условиях, определенных классом Yоп­, разработана и внедрена система  xX. При этом решение задачи оптимизации противодействия сводится к ситуации определяемой как Q{x, y}→ min при  yY, например, за счет резервирования или адаптации.

При построении корректной модели класс Y должен характеризовать всю совокупность критических ситуаций или возможностей, реально имеющихся  у противника по выбору способов противодействия синтезируемой системе, а функционал должен Q{} учитывать, кроме того, предпочтительность такого выбора. Тогда величина Q{x,Y} определяет эффективность применения системы x  X и задача синтеза системы в конфликтных условиях формулируется, таким образом, как минимаксная задача вида

Q{x,Y} = inf Q{x, y}→ max .                                  (1.3)
              y  Y           xX

В качестве решений задачи синтеза рассматривается множество X(X,Y) -оптимальных систем , определяемое выражением

X X{X,Y }inf Q{x, y}inf Q{}+                      (1.4)
                               y  Y            y  Y

для любых xX.

Следовательно, изменение варианта построения системы относительно -оптимального не может повысить эффективность ее функционирования в условиях оптимизированного противодействия более чем на величину .

Из определения -оптимальной системы следует, что при ее применении в классе условий Y гарантируется значение ПЭ, равное

Q0{}=infQ{,y}Q{X,Y},                           (1.5)

где Q{X,Y}→ sup    inf Q{x,y}.

 При  Y={y} минимаксная задача синтеза ТКС вырождается в классическую задачу синтеза и, следовательно, является обобщением последней. Это обобщение представляется существенным: при возможности получения -оптимального решения указанной задачи  для любого y  Y и -оптимального решения задачи синтеза для любого xX за произвольно малый конечный промежуток времени не гарантируется возможность решения задачи  вообще за какой-либо конечный промежуток времени.

 Если при постановке задачи  множество X не содержит отдельные реализуемые варианты построения систем и в этом смысле является неполным, то синтезируемая система X(X,Y) тем не менее будет обеспечивать значение ПЭ, равное Q{X}, однако в полном классе допустимых систем X элемент X может не являться оптимальным, в рассматриваемом смысле. Отмеченное условие, непосредственно вытекает из выражения

XXQ{ X,Y } Q{ X,Y }.                      (1.6)

Данное свойство указывает на целесообразность поиска решений в полном классе допустимых вариантов построения систем, а необоснованное сужение класса рассматриваемых систем может привести к занижению эффективности синтезированной системы.

Если при постановке задачи синтеза множество Y является неполным, то система X(X,Y) в полном классе условий Y может не являться -оптимальной и, кроме того, определенное для множества Y значение ПЭ системы   не может быть гарантированно в классе Y, т.е.

YYQ{, Y} Q{ ,Y }.                             (1.7)

Отсюда вытекает требование полноты класса рассматриваемых в задаче допустимых условий Y, так как необоснованное его сужение может привести к синтезу неработоспособной системы.

Постановка минимаксной задачи синтеза ТКС соответствует случаю, при котором оптимизация противодействующей среды из Y осуществляется после выбора варианта построение синтезируемой системы X, т.е. при дискриминации первого игрока. Ярким примером подобного класса систем являются  узкополосные средства радиосвязи, параметры которых достаточно легко могут быть определены  и в случае необходимости подобные системы относительно простыми средствами с незначительными энергетическими затратами подавляются вторым игроком, имеющим выраженные антагонистические интересы.

В случае отсутствия второго игрока при слабой дисциплине распределения РЧС или перегрузках подобные системы связи создают взаимные помехи, которые  случайно определяются элементами из множества Yно и не могут быть с достаточной точностью выявлены априори. Возникновение подобных сценариев принципиально недопустимо в современных системах беспроводного доступа к сетевым и информационным ресурсам. Крайне важно минимизировать влияние элементов  из множества  Yно на средства связи силовых ведомств или финансовых структур.