6-2 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Возможно, самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью  и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения - отрезок, прямая или плоская кривая - лежат на плоскости . Позднее мы рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.

Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси, - это точка. При условии, что точка не лежит на оси, вращение на угол   породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.

Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол  породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 6-1.

Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол   мы получим усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса - длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса - это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 6-2.

И снова, если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол   мы получим плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 6-3.

И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т.е. некомпланарен, то вращение на угол   породит однополостный гиперболоид (см. разд. 6-4 и 6-7).

Рис. 6-1 Цилиндрическая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-2 Коническая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-3 Диск в качестве поверхности вращения. (а) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-4 Поверхность вращения из замкнутой ломаной. (a) Схема построения; (b) результат.

Рис. 6-5 Бипараметрическая поверхность вращения.

Для создания поверхностей вращения могут быть также использованы замкнутые и незамкнутые ломаные. На рис. 6-4 представлен конус с цилиндрическим отверстием.

Параметрическое уравнение точки на поверхности вращения можно получить, если вспомнить, что параметрическое уравнение вращаемого объекта, например

, ,

есть функция одного параметра . Вращение вокруг оси приводит к тому, что координаты зависят также от угла поворота. Таким образом, точка на поверхности вращения определяется двумя параметрами  и . Как показано на рис. 6-5, это бипараметрическая функция.

Для рассматриваемого частного случая, т. е. вращения вокруг оси  объекта, расположенного в плоскости , уравнение поверхности записывается

                 (6-1)

Заметим, что здесь координата  не меняется. В качестве иллюстрации приведем пример.

Пример 6-1 Простая поверхность вращения Рассмотрим отрезок с концами  и , лежащий в плоскости . Вращение отрезка вокруг оси  породит коническую поверхность. Определим на поверхности координаты точки с параметрами ,  . Параметрическое уравнение отрезка, соединяющего  и , имеет вид ,          с декартовыми координатами , , . Используя уравнение (6-1), получим точку  на поверхности вращения .

Вращение плоских кривых также порождает поверхности вращения. Как показано на рис. 6-6а, сфера получается в результате вращения вокруг оси  расположенной в плоскости  полуокружности, центрированной относительно начала координат. Вспомнив параметрическое уравнение окружности (см. разд. 4-5)

,                 ,                  (4-4)

получим параметрическое уравнение сферы

          , .                      (6-2)

Рис. 6-6 Поверхности вращения. (а) Сфера; (b) эллипсоид.

Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрированного полуэллипса, расположенного в плоскости , получится эллипсоид вращения. Напомнив параметрическое уравнение полуэллипса (см. разд. 4-6)

,     ,

,                                         (4-6)

получим для любой точки эллипсоида следующее параметрическое уравнение:

,

,       .                 (6-3)

При  уравнение (6-3) превращается в уравнение (6-2) для сферы. Эллипсоид вращения показан на рис. 6-66.

Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности или эллипса, соответственно. Параметрическое уравнение эллипса на плоскости  с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так

,           ,

,

где  - это ,  - координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:

,                  (6-4)

где , . Если , то уравнение (6-4) задает тор с сечением в виде окружности. Если , то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 6-7 представлены оба типа торов.

Рис. 6-7 Торы. (а) С сечением в виде окружности; (b) с сечением в виде эллипса.

Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы (см. разд. 4-7)

,         ,

,                    (4-9)

вокруг оси . Параметрическая поверхность задается уравнением

,      ,

.                 (6-5)

Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы

,                 ,

        (4-14)

вокруг оси . Параметрическая поверхность задается уравнением

,          ,

.                 (6-6)

Примеры показаны на рис. 6-8.

Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн. На рис. 6-9 изображена поверхность вращения, созданная из относительно простого параболического сплайна. На рис. 6-10 изображен бокал, созданный как поверхность вращения с помощью незамкнутого В-сплайна.

Рис. 6-8 Поверхности вращения. (а) Параболоид; (b) гиперболоид.

Рис. 6-9 Поверхность вращения из параболически интерполированной кривой. (а) Создание кривой; (b) поверхность.

Заметим, что бокал имеет как внутреннюю, так и внешнюю стороны. Вращение производится относительно оси .

Рис. 6-10 В-сплайн поверхность вращения. (а) Вершины ломаной; (b) В-сплайн; (с) поверхность.

Напомним, что в матричной форме параметрическая пространственная кривая (см. уравнения (5-27), (5-44), (5-67) и (5-94)) задается следующим образом:

,

где ,  и  - соответственно матрица параметров, матрица функций смешивания и геометрическая матрица. Таким образом, в общей форме матричное уравнение поверхности вращения записывается в виде:

,                   (6-7)

где  представляет вклад вращения вокруг оси на угол . Для частного случая вращения вокруг оси  имеем:

.              (6-8)

Эти методы иллюстрируются в следующем примере.

Пример 6-2 Поверхность вращения, созданная по параболической кривой Рассмотрим параболическую кривую, заданную точками , , , . Будем вращать эту кривую вокруг оси  на угол , чтобы получить поверхность вращения. Найдем на поверхности точку с параметрами ,  . Из уравнений (6-7) и (6-8) получим параметрическое уравнение поверхности вращения , где , ,  и  задаются уравнениями (5-44), (5-52) и (5-53) соответственно. Конкретнее, . Для  и   . Рис. 6-11 Поверхность вращения вокруг произвольной оси. Результаты изображены на рис. 6-9. Такая поверхность может быть результатом разработки кубка или даже газового канала двигателя или ракетного сопла.

Предыдущие результаты были получены путем вращения точки, отрезка, ломаной или кривой вокруг координатной оси, а именно вокруг оси . К более общему случаю поворота вокруг произвольной оси в пространстве поверхность вращения, полученную в более удобной локальной системе координат, можно свести с помощью переносов и поворотов, приводящих поверхность в нужное положение.

На рис. 6-11 показана параметрическая кривая , повернутая вокруг произвольной оси в пространстве, проходящей через точки  и  и направленной от  к . После того как поверхность создана в удобной системе координат для приведения поверхности вращения в нужное положение, нужно совершить следующие действия:

1. Перенести точку  в начало координат.

2. Выполнить повороты, необходимые для совмещения осей  и  (см. разд. 5-9).

3. Повернуть вокруг оси  на угол  для совмещения осей  и .

Эти три шага необходимы только для того, чтобы найти обратное преобразование, размещающее поверхность вращения в нужном месте в трехмерном пространстве. Получив поверхность вращения вокруг оси , приведем ее в нужное положение в пространстве:

1. Сдвинуть по оси , чтобы переместить центр поверхности вращения в нужное положение на оси .

2. Применить к поверхности вращения преобразование, обратное к суммарному преобразованию поворотов.

3. Применить к поверхности вращения обратный перенос точки .

Точка на поверхности вращения тогда задается уравнением:

,                 (6-9)

где , ,  задаются уравнениями (3-22)-(3-24).  задается уравнением (3-8), и матрица  задается в форме уравнения (6-7) с геометрической матрицей , представленной в однородных координатах.  теперь является матрицей , заданной в виде

.              (6-10)

Данный метод иллюстрируется на следующем примере.

Пример 6-3 Поверхность вращения вокруг произвольной оси Найдем координаты точки с параметрами ,  на поверхности вращения, образованной вращением эллипса с главной осью, наклоненной относительно оси вращения. Ось вращения проходит через центр эллипса и лежит в плоскости эллипса. Угол наклона . Полуоси эллипса , . Ось проходит через точки  и . Центр эллипса находится в точке . Для начала найдем направляющие косинусы оси вращения (см. уравнение 3-26) и (см. уравнение 3-18) . Таким образом, используя уравнения (3-22)-(3-24) совместим ось вращения с осью . Поворот вокруг оси  на угол  приводит к . Используя преобразование  и однородные координаты, преобразуем центр эллипса, находящийся первоначально в : , т. е. в  на оси . Вспомнив пример 4-4 из разд. 4-6, получим параметрические уравнения центрированного относительно начала координат эллипса, повернутого на угол : , , , которые могут быть записаны в форме уравнения (6-7) . Тогда поверхность вращения имеет вид: . Для , , . Эта центрированная относительно начала координат поверхность вращения также показана на рис. 6-10. Перенеся начало в  на оси  и заметив, что получим . Точка на поверхности          имеет координаты или . Рис. 6-12 Сложная эллиптическая поверхность вращения из примера 6-3. Для , . Получившаяся в результате поверхность изображена на рис. 6-12. Заметим, что эта поверхность самопересекается и имеет сложную форму.

 

Формальное дифференцирование уравнения (6-7) дает параметрические производные для поверхности вращения. А именно, производная в осевом направлении равна

,                 (6-11)

а производная в радиальном направлении

,                (6-12)

где штрих обозначает соответствующее дифференцирование.

Нормаль к поверхности задается векторным произведением параметрических производных, т.е.

.                (6-13)