6-4 КВАДРАТИЧНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Обычные квадратичные поверхности, такие как сфера, конус, цилиндр, эллипсоид, параболоид вращения и гиперболоид вращения являются также и поверхностями вращения (см. разд. 6-2). Эти квадратичные поверхности, особенно сфера, конус и цилиндр, играют важную роль при изготовлении деталей механизмов, а также в описании обрабатываемых поверхностей. Например, баскетбольные и футбольные мячи имеют сферическую форму, воронки - коническую, банки для пива - цилиндрическую, а спутниковые антенны - параболическую. Квадратичные поверхности также важны и при описании более сложных поверхностей. Например, фюзеляж истребителя North American Р-51 времен второй мировой войны был описан с помощью сегментов конических поверхностей [6-11]. Этот метод называется методом построения плазов с помощью конических сечений.

Существует два метода представления квадратичных поверхностей - алгебраический (включающий параметрические представления) и геометрический. Геометрические описания обычно применяются для естественных квадратичных поверхностей. Алгебраически квадратичная поверхность задается в общем виде уравнением

,                      (6-17)

где  - константы. Уравнение (6-17) является обобщением уравнения конических сечений (см. уравнение 4-31) на три измерения. В матричной форме обобщенное квадратичное уравнение можно записать как

,                  (6-18)

где , а

.

Как и в случае конических сечений, квадратичные поверхности бывают либо центральными, либо нецентральными. Центральные квадрики - это эллипсоид и гиперболоид. Параболоиды - это нецентральные поверхности. Если квадрика центральна, то ее центр можно перенести в начало координат. Если это невозможно, то квадрика нецентральная, т. е. является параболоидом. Перенос центра в начало координат приводит к исчезновению линейных членов уравнения (6-17).

После переноса уравнение (6-18) превращается в

,                        (6-19)

где матрица переноса имеет вид:

.

Преобразованная матрица  равна

.             (6-20)

с , , , , ,  и

,

,

,

.

Исключение линейных членов, т. е. случай , приводит к

,

,

 

или

,             (6-21)

что можно записать в следующем виде:

.

Если матрица  обратима, то решение существует и квадрика центральна, т. е. является эллипсоидом или гиперболоидом. Если же  особенная (вырожденная) матрица, то решения не существует и квадрика является параболоидом. Приравнивание детерминанта  к нулю дает условие для параболоида. Таким образом,

                       (6-22)

 является условием для параболоида. Далее, если , то мы получаем гиперболоид, и если  - эллипсоид.

Как и для конических сечений (см. разд. 4-10), независимо от того, обратима  или нет, оси квадрики с помощью поворотов можно сделать параллельными координатным осям. Здесь требуется три поворота: два для того, чтобы сделать одну из осей квадрики параллельной координатной оси (см. разд. 3-9) и последний поворот вокруг этой же оси для того, чтобы сделать две другие оси квадрики параллельными другим координатным осям. Для квадрики в обобщенном виде решение получающихся уравнений для необходимых углов поворотов является нетривиальной задачей и здесь не приводится.

Аналогичным образом, если квадрика нецентральна, т. е. является параболоидом, то, как было ранее упомянуто, нельзя исключить из уравнения все линейные члены. Тем не менее, два их трех линейных членов могут быть исключены. И снова, решение получающихся при этом уравнений является нетривиальной задачей и здесь не приводится.

Результатом вышеперечисленных операций должно было быть приведение квадрики к стандартному виду. Для центральной квадрики в стандартном виде центр находится в начале координат, а оси направлены в соответствии с координатными осями. Запишем получившееся стандартное уравнение в матричном виде

                     (6-23)

или

.                       (6-24)

Если , , то мы получим обобщенный эллипсоид (см. рис. 6-18а). Наибольшее из значений  определяет главную ось. Если две из трех констант равны, например, , то мы получим эллипсоид вращения. Ось вращения связана с константой, отличной от двух остальных. Если , то мы получим сферу радиуса .

Переписав уравнение (6-24) в виде

и устремив одну из констант к бесконечности, получим цилиндр как предельный случай эллипсоида. «Ось» этого эллипсоида, заданная отсутствующей координатой, «бесконечно» длинна. Если две оставшиеся константы равны, например , то мы получим круговой цилиндр. Если они не равны, например , то получим эллиптический цилиндр. В этом случае уравнение (6-24) превращается в

.

Рис. в-18 Квадратичные поверхности. (а) Обобщенный эллипсоид ; (b) эллиптический цилиндр ; (с) двойной конус ; (d) однополостный гиперболоид ; (е) двуполостный гиперболоид ; (f) конус, асимптотический к обоим гиперболоидам ; (g) эллиптический параболоид; (h) гиперболический параболоид.

Посмотрим пример, приведенный на рис. 6-18b. Если , то мы получим мнимый цилиндр, потому что сумма квадратов двух вещественных чисел не может быть равной нулю.

Если , одна из констант отрицательна, а две другие положительны, например , , то мы получим двойной конус. Ось конуса связана с координатой отрицательной константы. Если , то получится правильный круговой конус. Если , получится эллиптический конус. В этом случае уравнение (6-24) превращается в

.

Пример изображен на рис. 6-18с.

Если , , то конус мнимый, потому что сумма квадратов трех вещественных чисел не может быть равной нулю.

Если , а , получится мнимый эллипсоид, потому что опять сумма квадратов трех вещественных чисел не может быть отрицательной.

Если одна из констант в уравнении (6-24) отрицательна, например , а другие положительны, в результате квадратичная поверхность будет однополостным гиперболоидом. Ось гиперболоида связана с отрицательной константой, например, если , то осью гиперболоида будет координатная ось . На рис. 6-18d приведен пример. Если две положительные константы равны между собой, например , то получается гиперболоид вращения. В противном случае - эллиптический гиперболоид. Гиперболоид называется однополостным, потому что можно соединить любые две точки поверхности, не выходя за ее границы. В пределе, при приближении отрицательной константы к нулю, получится либо круговой, либо эллиптический цилиндр. Однополостный гиперболоид является двулинейчатой поверхностью (см. разд. 6-8). Двуполостный гиперболоид в некотором смысле противоположен однополостному. Здесь отрицательны две из трех констант , например , а третья положительна. Ось гиперболоида связана с положительной константой. Пример приведен на рис. 6-18е. Соединить две любые точки двуполостного гиперболоида, не покидая поверхность, невозможно. Для ,  вершины двух полостей гиперболоида находятся в диапазоне

на оси . Если отрицательные константы равны, то получается гиперболоид вращения. В противном случае получается эллиптический гиперболоид. Заметим, что число отрицательных констант равно числу полостей гиперболоида.

Если , то оба гиперболоида вырождаются в конус, асимптотический к обоим из них, как это показано на рис. 6-18f.

Теперь рассмотрим нецентральные квадратичные поверхности, а именно параболоиды. В стандартном виде, где  является осью параболоида, имеем уравнение

                        (6-25)

или

.              (6-26)

Если , то, как показано на рис. 6-18g, получается эллиптический параболоид. Если , то получим параболоид вращения. Вершина параболоида находится в начале координат. При  поверхность «открыта» в положительную сторону оси . Аналогичным образом, при  поверхность открыта в отрицательную сторону оси . Если , поверхность превращается в эллипс. Если либо , либо , то, как показано на рис. 6-18h, получается гиперболический параболоид. Если , , то фокальной осью является ось . Аналогично, если , , фокальная - ось . Если , то седло направлено вверх, как это показано на рис. 6-18h. Если , то поверхность отражена относительно плоскости  и седло направлено вниз. Если , то поверхность вырождается в гиперболу. Гиперболический параболоид иногда называют седловой поверхностью. Заметим, что даже при  гиперболический параболоид не является поверхностью вращения. Тем не менее, это двулинейчатая поверхность (см. разд. 6-8).

И наконец, если либо , либо , то получаем параболический цилиндр. Дальнейшую информацию о квадратических поверхностях и их свойствах можно найти в [6-12]-[6-14].

Хотя для нахождения свойств квадратичных поверхностей часто бывает полезна явная форма их задания, но, аналогично случаю конических сечений, параметрическое задание поверхностей позволяет получить более привлекательные и доходчивые графические изображения. Для квадратичных поверхностей со стандартной ориентацией параметрические представления задаются следующим образом:

Эллипсоид:

,        ,

,         ,

.                             (6-27)

Однополостный гиперболоид:

,         ,

,          ,

.                               (6-28)

Двуполостный гиперболоид:

, ,

,          ,

.                      (6-29)

Эллиптический параболоид:

,   ,

,   ,

.                                    (6-30)

Гиперболический параболоид:

,    ,

,    ,

.                                    (6-31)

Эллиптический конус:

,   ,

,   ,

.                                    (6-32)

Эллиптический цилиндр:

,     ,

,                 ,

.                          (6-33)

Параболический цилиндр:

,         ,

,         ,

.                          (6-34)

Параметрически заданные эллипсоид и часть гиперболического параболоида показаны на рис. 6-19.

Рис. 6-19 Параметрические квадратичные поверхности. (а) Эллипсоид; (b) гиперболический параболоид.

Хотя представлять все квадратичные поверхности удобно с помощью обобщенного уравнения второй степени (см. уравнение (6-17)), а генерировать - с помощью параметрического задания, описанного выше, но при компьютерном моделировании квадратичные поверхности наиболее точно представляются геометрически (см. [6-15] и [6-17]). Геометрически любая квадратичная поверхность представляется точкой, двумя ортогональными (единичными) векторами и тремя скалярами. Точка - либо центр, либо вершина, фиксирует местоположение в пространстве. Вектора и их векторное произведение определяют оси поверхности или ориентацию. Скаляры определяют ее измерения или размер. Например, сфера определяется своим центром и радиусом, правильный цилиндр - вектором, задающим его ось, точкой на оси и радиусом, эллипсоид определяется центром, двумя векторами, представляющими две из его трех ортогональных осей и тремя скалярами, представляющими длины вдоль этих осей, и т.д. В табл. 6-1 перечислены геометрические описания квадратичных поверхностей.

При работе с геометрически заданными квадратичными поверхностями необходимо преобразовывать только определяющие точки и векторы. Скалярные величины остаются неизменными и, таким образом, не накапливают при вычислениях ошибок, возникающих из-за использования в компьютере арифметики с ограниченной разрядной сеткой.

Например, геометрически заданный радиус сферы всегда равен . А радиус сферы, полученный путем преобразования алгебраического представления (см. уравнение (6-17)) равен , где  - небольшая числовая ошибка. Числовая стабильность определяющих скаляров очень важна, например при определении характера кривой пересечения двух квадратичных поверхностей или при определении идентичности двух поверхностей (см. [6-15]).

Таблица 6-1 Геометрические описания квадратичных поверхностей

Поверхность	Скаляры	Точка	Векторы
Плоскость	Нет	Любая точка на плоскости	Единичная нормаль
Сфера	Радиус	Центр	Нет
Правильный круговой конус	Половинный угол	Центр (вершина)	Единичный вектор, параллельный оси
Правильный круговой цилиндр	Радиус	Любая точка на оси	Единичный вектор, параллельный оси
Правильный эллиптический цилиндр	Длины осей эллипса (2)	Любая точка на оси	-
Правильный параболический цилиндр	Фокусное расстояние	Вершина	Единичный вектор оси
Эллиптический конус	Длины осей эллипса (2)	Центр	Единичный вектор, параллельный оси
Эллипсоид	Длины осей (3)	Центр	Два единичных вектора, параллельных двум из трех осей
Эллиптический параболоид	Длины осей эллипса	Вершина	Единичный вектор, параллельный оси
Гиперболический параболоид	Гиперболический и параболический фокусы (3)	Вершина	Единичный вектор, параллельный оси
Однополостный гиперболоид	Длины осей эллипса (2) Гиперболический фокус вдоль главной оси	Центр	Единичный вектор, параллельный оси
Двуполостный гиперболоид	Длины осей (2) Местоположение вершины на оси симметрии (1)	Центр	Единичный вектор, параллельный оси