2-9 ПОВОРОТРассмотрим треугольник (рис. 2-4) и с помощью следующего преобразования повернем его на против часовой стрелки относительно начала координат . Если использовать матрицу размером , состоящую из координат и вершин треугольника, то можно записать , что является координатами результирующего треугольника . Рис. 2-4 Поворот. Поворот на относительно начала координат достигается путем следующего преобразования , а на относительно начала координат - преобразованием . Разумеется, что матрица тождественного преобразования соответствует повороту вокруг начала координат на или . Обратим внимание, что в этих примерах не встречаются ни масштабирование, ни отражение. В этих примерах осуществляется преобразование в специальных случаях поворота вокруг начала координат на углы ,, и . Как осуществить поворот вокруг точки начала координат на произвольный угол ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим вектор положения от начала координат до точки (рис. 2-5). Обозначим - длину вектора, а - угол между вектором и осью . Вектор положения поворачивается вокруг начала координат на угол и попадает в точку . Записав векторы положений для и , получаем: и . Используя формулу для суммы углов, перепишем выражение для следующим образом . Используя определения и , можно переписать как . Таким образом, преобразованная точка имеет координаты , (2-27а) (2-27b) или в матричном виде . (2-28) Рис. 2-5 Поворот координатного вектора. Итак, преобразование поворота вокруг точки начала координат на произвольный угол задается матрицей . (2-29) Повороты являются положительными, если они осуществляются против часовой стрелки относительно точки вращения (рис. 2-5). Определитель общей матрицы поворота имеет следующий вид: . (2-30) В общем случае преобразования по матрице с детерминантом, равным 1, приводят к полному повороту. Предположим теперь, что требуется возвратить точку обратно в , т. е. выполнить обратное преобразование. Очевидно, что требуемый угол поворота равен . Из формулы (2-29) возьмем матрицу для выполнения необходимого преобразования , (2-31) так как и . Выражение является формальной записью обратной матрицы . Можно показать, что матрица является обратной к , если вспомнить, что результат умножения матрицы на обратную дает единичную матрицу. В нашем случае: , где - единичная матрица. Анализ выражений (2-29) и (2-31) приводит к другому интересному и полезному результату. Вспомним, что транспонирование матрицы определяется заменой ее строк столбцами. Обозначим транспонированную матрицу как . Сравнивая ее с , видим, что . (2-32) Обратная матрица вращения является транспонированной. Поскольку формально определитель обратной матрицы вычисляется гораздо сложнее, чем определитель транспонированной, то выражение (2-32) является достаточно важным и полезным результатом. В общем случае обратной для любой матрицы преобразования полного поворота, т.е. матрицы с определителем, равным +1, является ее транспонированная матрица (такие матрицы называют ортогональными).
|