2-11 МАСШТАБИРОВАНИЕ

Из наших рассуждений относительно преобразования точек следует, что величина масштабирования определяется значением элементов исходной диагональной матрицы. Если матрица

используется в качестве оператора воздействия на вершины треугольника, то имеет место «двукратное» расширение или равномерное масштабирование относительно точки начала координат. Если значения элементов не равны, то треугольник искажается, что проиллюстрировано на рис. 2-8. Треугольник , преобразованный с помощью матрицы

переходит в пропорционально увеличенный треугольник .

Рис. 2-8 Пропорциональное и непропорциональное масштабирование (искажение).

Рис. 2-9 Пропорциональное масштабирование без явного перемещения.

Тот же треугольник, но преобразованный с помощью матрицы

переходит в треугольник , имеющий искажение, вызванное разными коэффициентами масштабирования. В общем случае при матрице

,            (2-37)

в которой ,, выполняется пропорциональное масштабирование; если , , то масштабирование будет проведено непропорционально. В первом случае для  происходит расширение, т.е. увеличение изображения. Если , то происходит равномерное сжатие, т.е. фигура уменьшается. Непропорциональное расширение и сжатие возникают в зависимости от значений  и , которые могут быть меньше либо больше, чем 1, независимо друг от друга.

Из рис. 2-8 видно также, что на первый взгляд преобразование треугольника является перемещением. Это объясняется тем, что относительно начала координат масштабируются координатные векторы, а не точки.

Для того чтобы лучше понять этот факт, рассмотрим преобразования  в  более внимательно. В частности,

.

Заметим, что каждая из компонент  координатных векторов треугольника  умножалась на масштабный коэффициент 3, а компоненты  - на 2.

Для того чтобы получить чистое масштабирование без эффекта перемещения, центр фигуры надо поместить в начало координат. Это видно из рис. 2-9, на котором треугольник  увеличивается в два раза при масштабировании относительно его центра с координатами, равными 1/3 основания и 1/3 высоты. Конкретная матрица преобразования имеет вид

.