2-13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТАДо сих пор мы рассматривали поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно корректно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, - это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому. Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости (рис. 2-11). Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид: . Такой единичный квадрат изображен на рис. 2-11а. Применяя к нему -матрицу общего преобразования, получаем (2-38) Результаты этого преобразования показаны на рис. 2-11b. Из выражения (2-38) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т.е. . Далее отметим, что координаты равны первой строке матрицы преобразования, а координаты - второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты и (преобразование единичных векторов , ). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом. Влияние элементов , , и матрицы может быть установлено отдельно. Элементы и , как видно из рис. 2-11b, вызывают сдвиг (см. разд. 2-4) исходного квадрата в направлениях и соответственно. Как отмечалось ранее, элементы и играют роль масштабных множителей. Таким образом, -матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования. Несложно определить также площадь параллелограмма из рис. 2-11b, которую можно вычислить следующим образом: . Рис. 2-11 Общее преобразование единичного квадрата: а) до преобразования; b) после преобразования. В результате получаем . (2-39) Можно показать, что площадь любого параллелограмма , образованного путем преобразования квадрата, есть функция от определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата простым отношением . (2-40) Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичных квадратов, то площадь любой преобразованной фигуры зависит от площади исходной фигуры . (2-41) Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.
|