2-13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА

До сих пор мы рассматривали поведение точек и линий для определения результатов простых матричных преобразований. Однако можно корректно рассматривать применение матрицы к любой точке плоскости. Как было показано ранее, единственная точка, остающаяся инвариантной при воздействии матричных преобразований, - это точка начала координат. Все другие точки плоскости подвержены преобразованию, которое можно представить как растяжение исходной плоскости, системы координат и перевод в новую форму. Формально принято считать, что преобразование вызывает переход от одного координатного пространства к другому.

Рассмотрим координатную сетку, состоящую из единичных квадратов на координатной плоскости  (рис. 2-11). Четыре координатных вектора вершин единичного квадрата, проходящие под одним углом к началу координат, имеют следующий вид:

.

Такой единичный квадрат изображен на рис. 2-11а. Применяя к нему -матрицу общего преобразования, получаем

                      (2-38)

Результаты этого преобразования показаны на рис. 2-11b. Из выражения (2-38) следует, что начало координат не подвергается преобразованию, т.е. . Далее отметим, что координаты  равны первой строке матрицы преобразования, а координаты  - второй. Таким образом, матрица преобразования является определенной, если определены координаты  и  (преобразование единичных векторов , ). Поскольку стороны единичного квадрата первоначально параллельны и ранее было показано, что параллельные линии преобразуются снова в параллельные, то результирующая фигура является параллелограммом.

Влияние элементов , ,  и  матрицы  может быть установлено отдельно. Элементы  и , как видно из рис. 2-11b, вызывают сдвиг (см. разд. 2-4) исходного квадрата в направлениях  и  соответственно. Как отмечалось ранее, элементы  и  играют роль масштабных множителей. Таким образом, -матрица задает комбинацию сдвига и масштабирования.

Несложно определить также площадь параллелограмма  из рис. 2-11b, которую можно вычислить следующим образом:

.

Рис. 2-11 Общее преобразование единичного квадрата: а) до преобразования; b) после преобразования.

В результате получаем

.   (2-39)

Можно показать, что площадь любого параллелограмма , образованного путем преобразования квадрата, есть функция от определителя матрицы преобразования и связана с площадью исходного квадрата  простым отношением

.         (2-40)

Фактически, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей единичных квадратов, то площадь любой преобразованной фигуры  зависит от площади исходной фигуры

.                  (2-41)

Это полезный способ определения площадей произвольных фигур.

Пример 2-5 Масштабирование области Треугольник  с координатными векторами ,  и  преобразуется матрицей , образуя новый треугольник  (рис. 2-12). Площадь треугольника  равна . Рис. 2-12 Масштабирование области. Воспользуемся уравнением (2-41), тогда площадь преобразованного треугольника  будет равна . Векторы преобразованного треугольника  теперь равны . Вычислим площадь, образованную результирующими вершинами: . Это совпадает с полученным ранее результатом.