Глава 3. Пространственные преобразования и проекции

3-1 ВВЕДЕНИЕ

Способность визуализировать или изображать пространственный объект является основой для понимания формы этого объекта. Кроме того, во многих случаях для этого важна способность вращать, переносить и строить виды проекций объекта. Все это легко демонстрируется на примере нашего знакомства с относительно сложным незнакомым объектом. Чтобы понять его форму, мы тут же начинаем вращать объект, отодвигать на расстояние вытянутой руки, передвигать вверх и вниз, вперед и назад и т. д. Чтобы сделать то же самое с помощью компьютера, мы должны распространить наш предшествующий двумерный анализ на три измерения. Основываясь на полученном опыте, мы немедленно вводим однородные координаты. Таким образом, точка в трехмерном пространстве  представляется четырехмерным вектором

,

где  является матрицей некоего преобразования. Как и ранее, преобразование из однородных координат в обычные задается формулой

.          (3-1)

Обобщенную матрицу преобразования размерности  для трехмерных однородных координат можно представить в следующем виде:

.          (3-2)

Матрицу преобразования  из (3-2) можно разделить на четыре отдельные части:

.

Верхняя левая -подматрица задает линейное преобразование в форме масштабирования, сдвига, отражения и вращения. Левая нижняя -подматрица задает перемещение, а правая верхняя -подматрица - перспективное преобразование. Последняя правая нижняя -подматрица задает общее масштабирование. Общее преобразование, полученное после применения этой -матрицы к однородному вектору и вычисления обычных координат, называется билинейным преобразованием. В общем случае данное преобразование осуществляет комбинацию сдвига, локального масштабирования, вращения, отражения, перемещения, перспективного преобразования и общего масштабирования.