Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


3-12 ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Самой простой из параллельных проекций является ортографическая проекция, используемая обычно в инженерных чертежах. В этом случае точно изображается правильные или «истинные» размер и форма одной плоской грани объекта. Ортографические проекции - это проекции на одну из координатных плоскостей ,  или . Матрица проекции на плоскость  имеет вид

.            (3-27)

144.jpg

Рис. 3-12 Ортографические проекции объекта на рис. 3-12а на плоскости: (b) , (с)  и (d) .

Заметим, что в третьем столбце (столбце ) все элементы нулевые. Следовательно, в результате преобразования -координата координатного вектора станет равной нулю.

Аналогичным образом матрицы для проекций на плоскости  и  равны

(3-28)

и

.          (3-29)

145.jpg

Рис. 3-13 Многовидовая ортографическая проекция.

Ортографические проекции объекта на рис. 3-12а на плоскости ,  и  из центров проекций, расположенных в бесконечности на -, - и -осях соответственно, изображены на рис. 3-12b, 3-12с и 3-12d соответственно.

Одна ортографическая проекция не дает достаточной информации для визуального и практического воссоздания формы объекта. Необходимо, следовательно, наличие нескольких ортографических проекций. Эти многовидовые ортографические проекции обычно организуются так, как это показано на рис. 3-13.

146.jpg

Рис. 3-14 Построение вспомогательного вида, (а) Триметрический вид; (b) нормаль совмещена с осью ; (с) спроецировано на плоскость .

Виды спереди, справа и сверху получаются проецированием на плоскости ,  и  из центров проекции, расположенных в бесконечности на ,  и  осях. Виды сзади, слева и снизу получаются проецированием на плоскости , ,  из центров проекции, расположенных в бесконечности на ,  и  осях. Координатные оси обычно не изображаются на этих видах.

Как показано на рис. 3.13, невидимые линии принято изображать пунктиром. Для адекватного представления формы объекта обычно не требуются все шесть видов. Наиболее часто используются виды спереди, сверху и справа. Даже если используются не все шесть видов, оставшиеся располагаются в указанных местах. Виды спереди и с боков иногда называют главным и боковыми фасадами, вид сверху иногда называют планом.

Интересно и важно отметить, что все шесть видов могут быть получены комбинациями отражения, вращения и переноса с последующим проецированием на плоскость  из центра проекции, расположенного в бесконечности на оси . Например, вид сзади получается отражением относительно плоскости  и проецированием на эту плоскость. Аналогичным образом вид слева получается вращением вокруг оси  на угол  и проецированием на плоскость .

Для объектов с гранями, не параллельными одной из координатных плоскостей, стандартные ортографические виды не показывают правильную или истинную форму этих граней. Для этих целей используются вспомогательные виды. Вспомогательный вид образуется с помощью вращения и перемещения объекта так, чтобы нормаль к грани совпала с одной из координатных осей (см. разд. 3-9). Результат затем проецируется на координатную плоскость, перпендикулярную этой оси. На рис. 3-14с изображена вспомогательная плоскость, показывающая истинную форму треугольного угла объекта на рис. 3.13.

Пример более полно объясняет эти построения.

Пример 3-12 Вспомогательный вид

Построим вспомогательный вид, изображающий правильную форму треугольного угла объекта на рис. 3-14а. Координатные векторы объекта равны

.

Номера вершин, изображенные на рис. 3-14, соответствуют номерам строк матрицы  координатных векторов.

Внешняя нормаль к треугольной грани имеет следующие направляющие косинусы

и проходит через начало координат и точку . Вспомнив результаты разд. 3-9 и примера 3-10, получим, что нормаль совмещается с осью  с помощью поворота вокруг оси  на угол

и последующего поворота вокруг оси  на угол

.

Теперь общая матрица преобразования равна

.

Преобразованные координатные векторы равны

.

Результат изображен на рис. 3-14b. Вспомогательный вид создается проецированием этого промежуточного результата на плоскость  с помощью (3-27), т.е.

.

Объединение матриц  и  дает

.

Обратите внимание на столбец из нулей. Вспомогательный вид создается затем с помощью

.

Матрица  та же самая, что и  за исключением нулевого третьего столбца, т. е. действие проецирования состоит в отбрасывании координаты . Результат показан на рис. 3-14с. Невидимые линии изображены сплошными. Заметим, что показана правильная форма грани объекта - равностороннего треугольника.

Часто бывает необходимо для сложных объектов показать внутренние детали. Это выполняется с помощью сечений. Сечение образуется проведением через объект так называемой «секущей» плоскости, удалением части объекта по одну сторону от этой плоскости и проецированием оставшейся части объекта на плоскость сечения. Как и ранее, этот вид можно сделать с помощью совмещения с одной из координатных осей нормали к плоскости сечения (см. разд. 3-9), отсечения объекта с одной стороны от плоскости сечения (см. [3-1]) и, наконец, проецирования результата на координатную плоскость, перпендикулярную этой оси.

149.jpg

Рис. 3-15 Построение сечения, (а) Весь объект; (b) удалена часть между плоскостью сечения и центром проецирования; (с) проекция на плоскость .

На рис. 3-15 изображена плоскость сечения, проходящая через выемку на левой стороне объекта с рис. 3-13. Стрелки используются для показа плоскости сечения и направления взгляда.

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>