5-5 ДРУГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯВ предыдущих рассуждениях предполагалось, что известны касательные векторы Если задано мало точек или физические ограничения требуют определенной формы кривой у концов, возможны другие граничные условия. Например, можно задать кривизну в концевых точках. Нулевая кривизна называется слабым граничным условием. Аппроксимируя кривизну второй производной и вспоминая уравнение (5-9), получаем
В начале первого сегмента сплайна
После перегруппировки получаем
Теперь первая строка в матрицах
В конце последнего сегмента или, используя уравнение (5-17),
После перегруппировки
Последняя строка матриц
Заметим, что для сплайна слабые и закрепленные граничные условия могут меняться местами.
Интерес представляют еще два типа граничных условий: циклическое и ациклическое. Циклическое условие порождает замкнутую кривую или часть периодически повторяющейся кривой. Для этого необходимо, чтобы касательная вектора и кривизна на обоих концах были нулевыми:
Из уравнений (5-3) и (5-9), пользуясь уравнениями (5-17) и (5-32), получаем
Рис. 5-12 Кубический сплайн для примера 5-4. Аналогично, уравнение (5-33) приводится к виду
Умножив (5-35) на
Вспомним, что
Касательные векторы в точках внутреннего соединения опять получаются с помощью уравнения (5-15). Однако из-за того, что касательные векторы линейно зависимы
Эта матрица уже не трехдиагональная. Ациклический сплайн похож на циклический за исключением того, что
Та же процедура, что и для циклических граничных условий, дает
Из уравнения (5-40) видно, что единственные отличия - это разные знаки у 1 в У кубических сплайнов первые и вторые производные непрерывны для любых граничных условий, но с увеличением количества заданных точек время обращения матрицы касательных векторов может стать слишком большим. На рис. 5-13 изображены два кубических сплайна, проходящих через пять точек: с закрепленными и слабыми граничными условиями. Касательные векторы в закрепленных концах - На рис. 5-14 показано влияние изменения величины, а не направления касательных векторов в концах замкнутого кубического сплайна. Эти кривые симметричны, так как квадратная матрица в уравнении (5-15) трехдиагональна. Таблица 5-3 Граничные условия для кубических сплайнов
Рис. 5-13 Сравнение закрепленного и слабого граничных условий для нормализованного кусочно кубического сплайна. Рис. 5-14 Влияние величины касательного вектора на форму нормализованного кусочно кубического сплайна. (а) На рис. 5-15 через те же пять точек проходит сплайн со слабыми и циклическими граничными условиями. Обратите внимание на то, что сплайн со слабыми условиями симметричен, а циклический - нет. На рис. 5-16 сравниваются слабое и циклическое граничные условия. Циклическое условие можно использовать и для незамкнутых кривых: направление начального касательного вектора должно совпадать с направлением касательного вектора в конце. Несмотря на то, что параметрические кусочные сплайны удобны и применяются в ряде отраслей (производстве автомобилей, судостроении и авиастроении), у них есть некоторые недостатки. Так, они неточно представляют конические сечения и асимптотические кривые и часто приводят к видимой осцилляции. Осцилляция возникает из-за того, что сплайн испытывает локальное влияние каждой точки, а третья производная только кусочно постоянна. Разрывы третьей производной порождают отклонения, и полученная кривая не является гладкой, несмотря на то, что ее вторая производная непрерывна. Один из методов борьбы с осцилляциями - математический аналог приложения силы к концам сплайна. Пусть имеется физический сплайн - тонкая, гибкая рейка, нагруженная в некоторых точках. Рис. 5-15 Сравнение слабого и циклического граничных условий для нормализованного кусочно кубического сплайна. Рис. 5-16 Сравнение слабого и циклического граничных условий для открытых кривых.
Рис. 5-17 Эффект напряжения кусочно кубического сплайна. (а) Без напряжения; (b) с напряжением. Чтобы устранить малые колебания, нужно приложить силу к концам рейки. Изучение нагруженных сплайнов выходит за рамки этой книги, однако мы сделаем несколько замечаний. В первых разработках [5-6] и [5-7] рассматривается экспоненциальный сплайн, требующий больших вычислений. В работе [5-8] рассматривается другой полиномиальный вид сплайна,
|