5-5 ДРУГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что известны касательные векторы  и  в концевых точках кусочного кубического сплайна. Такое граничное условие называется закрепленным. Неизвестные касательные векторы в промежуточных точках вычисляются инверсией трехдиагональной матрицы  из уравнения (5-15).

Если задано мало точек или физические ограничения требуют определенной формы кривой у концов, возможны другие граничные условия. Например, можно задать кривизну в концевых точках. Нулевая кривизна называется слабым граничным условием. Аппроксимируя кривизну второй производной и вспоминая уравнение (5-9), получаем

, .

В начале первого сегмента сплайна . Отметим, что на результат влияет только член . Из уравнения (5-17)

.

После перегруппировки получаем

.                     (5-30)

Теперь первая строка в матрицах  и  (см. (5-15)) такова:

.

В конце последнего сегмента , . Здесь результат зависит от двух членов  и  в (5-9), а именно

или, используя уравнение (5-17),

.

После перегруппировки

.             (5-31)

Последняя строка матриц  и  (см. (5-15)) выглядит теперь так:

.

Заметим, что для сплайна слабые и закрепленные граничные условия могут меняться местами.

Пример 5-4 Кубический сплайн со слабым граничным условием Пусть заданы три точки ,  и . Найти кубический сплайн, проходящий через них, со слабыми граничными условиями. Для  использовать хордовую аппроксимацию. Коэффициенты  таковы: , . Модифицируя матрицы  и  с помощью уравнений (5-30) и (5-31), получим уравнение внутреннего касательного вектора в : . Инвертируя -матрицу и умножая, найдем производные . Из уравнения (5-21) весовые функции при  и  для первого сегмента имеют вид: , . Затем уравнение (5-22) дает точки на первом сегменте, т. е. . Аналогично . Весовые функции при ,  для второго сегмента таковы: , и уравнение (5-22) дает , . Результаты показаны на рис. 5-12.

Интерес представляют еще два типа граничных условий: циклическое и ациклическое. Циклическое условие порождает замкнутую кривую или часть периодически повторяющейся кривой. Для этого необходимо, чтобы касательная вектора и кривизна на обоих концах были нулевыми:

,                     (5-32)

.                     (5-33)

Из уравнений (5-3) и (5-9), пользуясь уравнениями (5-17) и (5-32), получаем

.                 (5-34)

Рис. 5-12 Кубический сплайн для примера 5-4.

Аналогично, уравнение (5-33) приводится к виду

.      (5-35)

Умножив (5-35) на  и вычитая его из (5-34), получим

.

Вспомним, что , и перегруппируем члены:

.             (5-36)

Касательные векторы в точках внутреннего соединения опять получаются с помощью уравнения (5-15). Однако из-за того, что касательные векторы линейно зависимы , матрица  теперь имеет размер , где первая строка состоит из коэффициентов уравнения (5-36):

.                    (5-37)

Эта матрица уже не трехдиагональная. Ациклический сплайн похож на циклический за исключением того, что

,                   (5-38)

.                   (5-39)

Та же процедура, что и для циклических граничных условий, дает

.             (5-40)

Из уравнения (5-40) видно, что единственные отличия - это разные знаки у 1 в  в матрице  и у второго члена  в уравнении (5-37). Ациклические сплайны полезны при изображении кривых, у которых касательные векторы в концах имеют одинаковую величину и противоположные направления, например как у многослойной деревянной теннисной ракетки. В табл. 5-3 собраны граничные условия для кубических сплайнов.

У кубических сплайнов первые и вторые производные непрерывны для любых граничных условий, но с увеличением количества заданных точек время обращения матрицы касательных векторов может стать слишком большим.

На рис. 5-13 изображены два кубических сплайна, проходящих через пять точек: с закрепленными и слабыми граничными условиями. Касательные векторы в закрепленных концах -  и , соответственно. В этом случае различие кривых несущественно. Другие касательные векторы, например  и , могут существенно изменить форму сплайна с закрепленными концами.

На рис. 5-14 показано влияние изменения величины, а не направления касательных векторов в концах замкнутого кубического сплайна. Эти кривые симметричны, так как квадратная матрица в уравнении (5-15) трехдиагональна.

Таблица 5-3 Граничные условия для кубических сплайнов

Граничное условие	Ненулевые элементы в первой и последней строках	Первая и последняя строки
Закрепленное
Слабое
Циклическое		не определено
Ациклическое		не определено

Рис. 5-13 Сравнение закрепленного и слабого граничных условий для нормализованного кусочно кубического сплайна.

Рис. 5-14 Влияние величины касательного вектора на форму нормализованного кусочно кубического сплайна. (а) , ; (b) , .

На рис. 5-15 через те же пять точек проходит сплайн со слабыми и циклическими граничными условиями. Обратите внимание на то, что сплайн со слабыми условиями симметричен, а циклический - нет.

На рис. 5-16 сравниваются слабое и циклическое граничные условия. Циклическое условие можно использовать и для незамкнутых кривых: направление начального касательного вектора должно совпадать с направлением касательного вектора в конце.

Несмотря на то, что параметрические кусочные сплайны удобны и применяются в ряде отраслей (производстве автомобилей, судостроении и авиастроении), у них есть некоторые недостатки. Так, они неточно представляют конические сечения и асимптотические кривые и часто приводят к видимой осцилляции. Осцилляция возникает из-за того, что сплайн испытывает локальное влияние каждой точки, а третья производная только кусочно постоянна. Разрывы третьей производной порождают отклонения, и полученная кривая не является гладкой, несмотря на то, что ее вторая производная непрерывна.

Один из методов борьбы с осцилляциями - математический аналог приложения силы к концам сплайна. Пусть имеется физический сплайн - тонкая, гибкая рейка, нагруженная в некоторых точках.

Рис. 5-15 Сравнение слабого и циклического граничных условий для нормализованного кусочно кубического сплайна.

Рис. 5-16 Сравнение слабого и циклического граничных условий для открытых кривых.

 

Рис. 5-17 Эффект напряжения кусочно кубического сплайна. (а) Без напряжения; (b) с напряжением.

Чтобы устранить малые колебания, нужно приложить силу к концам рейки. Изучение нагруженных сплайнов выходит за рамки этой книги, однако мы сделаем несколько замечаний. В первых разработках [5-6] и [5-7] рассматривается экспоненциальный сплайн, требующий больших вычислений. В работе [5-8] рассматривается другой полиномиальный вид сплайна, -сплайн. Эффект напряжения кубического сплайна показан на рис. 5-17.