5-7 ОБОБЩЕННАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

В примере параболической интерполяции в разд. 5-6 предполагается, что параметры и в точках и , соответственно, равны . Если данные распределены неравномерно, кривая становится менее гладкой. Более общим предположением была бы нормализованная хордовая аппроксимация. Пусть

, , (5-54)

, . (5-55)

Тогда уравнения (5-46) принимает вид

, , , (5-56а)

, , , (5-56b)

, . (5-56с)

В этих предположениях получаем линейные выражения и (см. (5-47))

, . (5-57)

Из уравнений (5-42) и (5-56а)

Отсюда

. (5-58)

Аналогично

. (5-59)

Вспомним уравнение (5-41) и подставим уравнения (5-58) и (5-59):

Так же, как в предыдущем разделе, это можно записать в матричном виде

, (5-44)

где

(5-60)

и опять

, (5-53)

, (5-61а)

, (5-61b)

, (5-61с)

. (5-61d)

На рис. 5-22 изображены интерполяционные функции для частного случая , т. е. когда длина хорды от до равна длине от до : .

Рассмотрим это на примере.

Пример 5-6 Обобщенная параболическая интерполяция

Снова рассмотрим данные из предыдущего примера (рис. 5-22). Найти параболическую интерполяцию между и в обобщенной формулировке. Вычислить промежуточные точки при .

Найдем и из уравнений (5-54) и (5-55):

Итак,

Заметим, что .

Из уравнения (5-60)

и из уравнения (5-44)

Аналогично, при , . На рис. 5-23 изображена получившаяся кривая, а также кривые из примера 5-5. Заметен большой изгиб около заданных точек.

На рис. 5-24 показана локальная коррекция параболически интерполированных кривых. Здесь имеется 11 заданных точек, или радиус-векторов, и 9 параболических составных сегментов. Центральная точка располагается в трех положениях. Заметим, что влияние перемещения этой точки на форму кривой ограничивается ±2-я сегментами.

Рис. 5-22 Обобщенные параболические весовые функции, . (a) ; (b) ; (c) ; (d) .

Рис. 5-23 Сравнение результатов параболической интерполяции. (а) Пример 5-5, ; (b) Пример 5-6, .

Рис. 5-24 Локальная коррекция параболически интерполированных кривых.