8.4.4. Влияние рассогласования по времени на обнаружение сигналов

Рабочие характеристики обнаружителя  рассматривались выше, исходя из предположения о том, что интервал интегрирования  и начало интегрирования согласованы соответственно с длительностью скачка частоты  и моментом его прихода на вход -го канала. Как указывалось выше, в реальных условиях функционирования СРС и станции РТР такого согласования не существует, что приводит в станции РТР к увеличению требуемого для обнаружения уровня сигнала при заданных вероятностях  и .

Случай А. Рассмотрим вначале достаточно простой случай, когда известна частота скачков (при этом ), но момент прихода частотного элемента сигнала не согласован с началом интегрирования. При такой ситуации в каждом канале обнаружителя частотный элемент будет интегрироваться на двух соседних интервалах (рис.8.18).

Рис. 8.18.

Если  - начало данного частотного элемента,  - начало следующего интервала интегрирования, то нормированное рассогласование по времени определяется соотношением:

.               (8.72а)

Параметр  пропорционален части энергии частотного элемента в -м канале на данном скачке частоты в одном интервале интегрирования, а в другом, последующем интервале часть энергии частотного элемента пропорциональна

.                  (8.72б)

Следует также отметить, что в рассматриваемом случае на одном интервале интегрирования могут присутствовать два частотных элемента в различных каналах обнаружителя (рис.8.19,а,б).

Рис. 8.19.

При этом в одном канале энергия части одного частотного элемента будет пропорциональна , в другом канале энергия части другого частотного элемента - . Таким образом, одновременно на выходе двух каналов будут присутствовать напряжения, относительно которых необходимо принять решения. Это приведет к изменению пороговых уровней в каналах обнаружителя и повлияет, в конечном счете, на величину вероятности ложной тревоги.

С целью использования всей энергии частотного элемента для обнаружения сигнала с ППРЧ необходимо модифицировать рассмотренный выше „идеальный" алгоритм обнаружения таким образом, чтобы решить присутствует ли частотный элемент в любом одном интервале интегрирования, если превышается один или два пороговых уровня, но не больше. При этом, как и в „идеальном" алгоритме, окончательное решение об обнаружении сигнала с ППРЧ принимается на основе правила  из  превышений порогового уровня. Для совершенствования алгоритма необходимо определить вероятность  того, что имеет место одно или два превышения порогового уровня в  каналах. Напомним, что при „идеальном" согласовании аналогичная величина  (8.56) определялась для случая, когда частотный элемент присутствует в любом интервале интегрирования , если превышается один и только один пороговый уровень в  каналах. Для рассматриваемой ситуации рассогласования по времени вероятность ложной тревоги [93]

                       (8.73)

Учитывая (8.57) и (8.73), величина полной вероятности ложной тревоги многоканального обнаружителя при рассогласовании по времени определяется из выражения [88,93]:

.                  (8.74)

Далее перейдем к определению полной вероятности обнаружения  многоканальным обнаружителем при условии использования  интервалов из общего числа  интервалов интегрирования. В связи с имеющимся рассогласованием и наличием двух частотных элементов в разных каналах на одном интервале интегрирования появляются четыре условные вероятности обнаружения частотного элемента, которые однозначно связаны с выражениями (8.68) и (8.69) путем умножения в них параметра нецентральности  на параметры рассогласования по времени  (8.72а) и  (8.72б). Эти условные вероятности обозначим следующим образом:  - вероятности превышения порогового уровня при отсутствии узкополосных помех;  - вероятности превышения порогового уровня в случае присутствия узкополосных помех. Средние условные вероятности превышения и, соответственно, непревышения порогового уровня по всем  каналам можно записать в виде:

                       (8.75)

С учетом (8.75) вероятность того, что за один интервал интегрирования при наличии  узкополосных помех пороговый уровень будет превышен в одном или двух каналах, но не более, определяется из выражения [90,93]:

                     (8.76)

По аналогии с (8.71) и учитывая (8.76), получим выражение для полной вероятности обнаружения сигнала с ППРЧ, когда при наличии сигнала превышение порогового уровня происходит  и более раз из  наблюдений

.                     (8.77)

В соответствии с (8.77) на рис.8.20,а-в изображены графики вероятности обнаружения  -канальным обнаружителем при рассмотренном выше виде рассогласования по времени в зависимости от отношения сигнал-шум  при  каналах, вероятность ложной тревоги обнаружителя , , , ; нормированное время рассогласования . Заметим, что для значений  получаются такие же зависимости, что и для значений .

Рис. 8.20.

На графиках видно, что для обеспечения вероятности обнаружения  максимальное рассогласование между временем прихода частотного элемента и началом интегрирования  требует увеличения отношения сигнал-шум примерно на 2 дБ. Приведенные данные соответствуют результатам, полученным в [93].

Случай Б. Более сложная ситуация для обнаружения сигналов с ППРЧ имеет место, когда неизвестна длительность частотного элемента  и момент прихода частотного элемента не согласован с началом интегрирования. Время интегрирования , как указывалось выше, может быть больше или меньше длительности частотного элемента . При этом рассогласование между началом интегрирования и моментом прихода частотного элемента изменяется от одного скачка частоты к другому и зависит от начального рассогласования. Если время интегрирования  отличается от длительности частотного элемента , то существует вероятность того, что на одном интервале интегрирования могут присутствовать несколько скачков частоты, действующих в различных каналах обнаружителя. Указанные обстоятельства в сильной мере усложняют определение РХ многоканального обнаружителя.

Используя результаты [93], проведем анализ РХ обнаружителя при условии, что время интегрирования  и длительность частотного элемента связаны соотношением , где  - положительная величина, принимающая значения  и . Если , то имеются два временных отрезка на интервале интегрирования, которые можно определить таким же способом, как и для случая А. Однако значения этих отрезков изменяются в процессе наблюдения. Так, в течение -го интервала интегрирования параметры частичного перекрытия могут быть определены из выражения:

                      (8.78)

где  - начальное частичное рассогласование между началом интегрирования и моментом прихода сигналов;  и  находятся как остаток от деления на величину .

Примем что , тогда при  частичные перекрытия интервала интегрирования определяются следующим образом:

                    (8.79)

где значения  следует понимать как дробную часть числа.

Для случая, когда  возможно не более трех скачков частоты в разных каналах на одном интервале интегрирования. В связи с этим, как и в случае А, требуется модификация алгоритма обнаружения, для которого необходимо изменить правило принятия решения о наличии сигнала с ППРЧ, если наблюдается одно, два или три превышения порогового уровня на любом интервале интегрирования. При гипотезе  вероятность того, что имеется один, два или три превышения порогового уровня в  каналах определяется из выражения [90]

которое в результате преобразования примет вид [93]:

.              (8.80)

Используя (8.57) и (8.80), получим выражение для полной вероятности ложной тревоги  многоканального обнаружителя для случая рассогласования по времени и .

При рассматриваемом виде рассогласования между интервалом интегрирования и длительностью скачков частоты появляются шесть условных вероятностей обнаружения частотного элемента на одном интервале интегрирования: ; ; ; ; ; .

Условные вероятности могут быть получены из (8.68) и (8.69) путем умножения параметра нецентральности  на соответствующие значения  и  (8.79). По аналогии со случаем А, в котором были рассмотрены вероятности , , ,  (8.75), введем еще две средние вероятности:

.               (8.81)

Вероятность того, что на любом одном интервале интегрирования превысится пороговый уровень в одном, двух или трех частотных каналах, может быть определена из выражения [93]

              (8.82)

где

                       (8.83)

В силу особенности рассматриваемого вида рассогласования, вероятность  (8.82) может иметь различную величину на каждом интервале интегрирования. Отсюда следует, что полную вероятность обнаружения сигнала с ППРЧ  для многоканального обнаружителя нельзя получить на основании (8.71). Как уже отмечалось, сигнал с ППРЧ обнаруживается, если в  из  или более интервалах интегрирования наблюдалось превышение порога. Вероятность того, что в  интервалах интегрирования будет превышен порог, состоит из таких слагаемых, в которых вероятность превышения порога войдет сомножителем  раз, а вероятность противоположного события войдет сомножителем  раз, число таких слагаемых равно числу сочетаний из  по . Аналогично вычисляются вероятности для  интервалов интегрирования. Число таких слагаемых достаточно велико. Ввиду этого, при данном виде рассогласования расчет РХ модифицированного алгоритма обнаружения требует значительного числа вычислительных операций.

Как следует из проведенного анализа, реализация модифицированного алгоритма обнаружения сигналов с ППРЧ, рассмотренного для случая Б, достаточно сложна. Этот алгоритм упрощается до приведенного для случая А алгоритма, если по заранее известной длительности частотного элемента  подавляемой СРС с ППРЧ устанавливать интервал интегрирования , . Определение длительности частотных элементов  (частоты следования) сигналов с ППРЧ не представляет особых сложностей и может быть обеспечено различными способами, например, [81]. На рис.8.21 приведена структурная схема так называемого обнаружителя частоты следования частотных элементов.

Рис. 8.21.

В этой схеме разведываемая полоса частот  делится на две равные подполосы: верхнюю  и нижнюю , . Выходной сигнал ШПФ подвергается квадратичному детектированию и фильтрации в ФНЧ, а далее осуществляется операция вычитания. Считая, что скачки частоты равновероятны по диапазону , а в каждой подполосе число скачков по времени примерно одно и тоже, разностный сигнал  будет иметь двухуровневую (биполярную) форму и содержать периодическую составляющую на частоте следования частотных элементов.

Заметим, что приведенный на рис.8.21 обнаружитель, обеспечивая достаточно точное измерение частоты скачков ППРЧ, значительно проигрывает широкополосному обнаружителю по величине требуемого отношения сигнал-шум для обнаружения сигналов с заданными вероятностями  и .