6.2.1. МП оценка фазы несущей

Сначала рассмотрим максимально правдоподобную оценку фазы несущей. Для простоты предположим, что задержка  известна, и, в частности, предположим . Максимизации подлежит функция правдоподобия, определяемая (6.1.8). Если  подставить в  для этой функции, получим

      (6.2.8)

Заметим, что первое слагаемое справа не содержит параметра .

Третье слагаемое, которое содержит интеграл от , является постоянной, равной энергии сигнала на интервале  для любых значений . Только второе слагаемое, которое включает в себя взаимную корреляцию принимаемого сигнала  с сигналом, зависит от . Следовательно, функцию правдоподобия  можно выразить так:

                      (6.2.9)

где  - константа, не зависящая от .

МП оценка  - это величина , которая максимизирует  в (6.2.9). Эквивалентно  максимизирует также , т.е. логарифм функции правдоподобия

                                     (6.2.10)

Заметим, что при определении  мы отбросили слагаемое .

Пример 6.2.1. Как пример оптимизации при оценке фазы несущей рассмотрим передачу по каналу смодулированной несущей . Принимаемый сигнал

где  - неизвестная фаза. Мы ищем величину , скажем , которая максимизирует

Необходимое условие для максимума

Это условие даёт

                                  (6.2.11)

или, что эквивалентно,

      (6.2.12)

Видим, что условие оптимальности (6.2.11) подразумевает использование петли для извлечения оценки, что показано на рис. 6.2.1, где ГУН – генератор, управляемый напряжением, выдающий гармоническое колебание с такой частотой и фазой, которые соответствуют уравнению (6.2.11).

Рис.6.2.1. Цепь ФАП для получения МП оценки фазы немодулированной несущей

Рис.6.2.2. МП оценка фазы немодулированной несущей на одном тактовом интервале (разовая оценка)

Петлевой фильтр состоит из интегратора, полоса пропускания которого пропорциональна обратной величине интервала интегрирования . С другой стороны, (6.2.12) предполагает не петлевую реализацию, которая использует квадратурные несущие для взаимной корреляции с . МП оценка  определяется арктангенсом отношения этих двух выходов корреляторов, как показано на рис. 6.2.2. Заметим, что эта схема оценки выдает  с неоднозначностью в  рад.

Этот пример ясно демонстрирует, что ФАП обеспечивает МП оценку фазы немодулированной несущей.