7.2.2. Случайное кодирование, основанное на использовании М кодовых слов с многоуровневыми сигналами

Вместо того, чтобы синтезировать двоичные кодовые сигналы, предположим, что мы используем недвоичные коды с кодовыми словами вида (7.2.1), где кодовые элементы  выбираются из ансамбля . Каждый кодовый элемент отображается в одно из  возможных значений амплитуд. Таким образом, мы синтезируем сигналы, соответствующие -мерным векторам , как в (7.2.4), где компоненты  выбираются из ряда амплитуд, принимающих  возможных значений. Мы имеем  возможных сигналов. Из них мы выбираем  сигналов для передачи  -битовых информационных блоков. Величины  амплитуд, соответствующих кодовым элементам , обозначим  и будем предполагать, что они выбираются с вероятностями . Предполагается, что уровни амплитуд равномерно распределены на интервале .Для примера, рис. 7.2.4 иллюстрирует значения амплитуд при .

Рис. 7.2.4. Сигнальный алфавит, состоящий из 4 уровней амплитуды

В общем, соседние уровни амплитуд разделены интервалом . Такое задание гарантирует не только то, что каждая компонента  ограничена пиковой энергией , но также и то, что каждое кодовое слово ограничено по средней энергии, удовлетворяющей условию

.                                    (7.2.29)

Путем повторения подхода, данного выше, для случайного выбора кодов в канале с АБГШ, находим, что средняя вероятность ошибки ограничена сверху

,                   (7.2.30)

где  определено как

                      (7.2.31)

и

                            (7.2.32)

В частном случае, когда все уровни амплитуд равновероятны,

,

и (7.2.31) сводится к

.                       (7.2.33)

Для примера, когда  и , , имеем ,  и, следовательно,

,         ,

что совпадает с нашим прежним результатом. Когда ,, ,,, имеем  для  , и . Следовательно,

,    .             (7.2.34)

Ясно,  теперь насыщается до 2 бит/измерение по мере увеличения .

График  как функции  при равноотстоящих и равномерно распределённых уровнях амплитуд показан на рис. 7.2.5 для . Заметим, что таким образом, для больших ОСШ , когда  при условии, что  бит/с.

Если мы изменим пиковую энергию элемента, но сохраним заданную среднюю энергию на кодовое слово, как дано в (7.2.29), возможно получить большую верхнюю границу на число бит/измерение. Для этого случая, результат, полученный Шенноном (1959b), равен

                             (7.2.35)

График  в функции от ОСШ на измерение  также дан на рис. 7.2.5. Ясно, что наш выбор равномерно отстоящих, равновероятных уровней амплитуд, который приводит к , является субоптимальным. Однако, эти кодовые сигналы легче синтезировать и реализовать на практике. Это важное преимущество, которое оправдывает их использование.

Рис. 7.2.5. Предельная скорость  для равноотстоящих уровней амплитуды с равными вероятностями