7.3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СВЯЗИ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРЕДЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ

В предыдущем обсуждении мы характеризовали качество кодирования и модуляции через вероятность ошибки, которая конечно является определяющей при синтезе системы связи. Однако, во многих случаях, расчет вероятности ошибки чрезвычайно сложен, особенно, если при обработке сигнала в приёмнике используются нелинейные операции, такие, например, как квантование сигнала, или когда аддитивный шум не гауссовский.

Вместо того, чтобы стремиться к расчету точных значений вероятности ошибки для специальных кодов, мы можем использовать усредненную по ансамблю среднюю вероятность ошибки при случайном выборе кодовых слов. Предполагается, что канал имеет входных символов  и  выходных символов  и характеризуется переходными вероятностями , где  и , причем . Входные символы появляются с вероятностями  и считаются статистически независимыми. Дополнительно, шум в канале считается независимым во времени, так что нет зависимости между принимаемыми соседними символами. При этих условиях, среднюю вероятность ошибки по ансамблю при случайном выборе кодовых слов можно получить с использованием границы Чернова (см. Витерби и Омура, 1979).

Общий результат, который получен для дискретных каналов без памяти, таков:

,                                            (7.3.1)

где  - длина кодового блока,  - информационная скорость в битах/с,  - число измерений в секунду, a  - предельная скорость для квантователя с  уровнями, определяемая так:

.                 (7.3.2)

C точки зрения синтеза кода, комбинация из модулятора, канала и демодулятора образует канал с дискретным временем с  входами и  выходами. Переходные вероятности  зависят от характеристик канального шума, числа уровней квантования и типа квантователя, например, равномерного или неравномерного. Для примера, в канале с АБГШ и двоичным входом, условное распределение выхода коррелятора в точке отсчета можно выразить так:

                    (7.3.3)

где

                                                  

Эти две ФПВ показаны на рис. 7.3.1. Рисунок также иллюстрирует схему квантования, которая разделяет вещественную ось на пять областей. При таком разделении мы можем вычислить переходные вероятности и оптимальным образом выбрать пороги, при которых деление на области происходит так, что максимизируется  при заданном . Имеем

,                             (7.3.4)

где интеграл от  вычисляется по области , которая соответствует переходной вероятности .

Рис. 7.3.1. Пример квантования выхода демодулятора пятью уровнями

Величина скорости  в пределе, когда  определяет предельную скорость для неквантованного выхода демодулятора или согласованного фильтра. Можно непосредственно показать, что, когда , первое суммирование (сумма от  до ) в (7.3.2) заменяется интегрированием, а переходные вероятности заменяются соответствующими ФПВ. Таким образом, когда канал состоит из  дискретных входов и одного непрерывного выхода , который представляет неквантованный выход согласованного фильтра или коррелятора в системе связи, которая использует ФМ или многоуровневую (AM) модуляцию, предельная скорость определяется так

.              (7.3.5)

где  определяет вероятность передачи -го символа, а  - условная плотность вероятности выхода у согласованного фильтра или взаимокоррелятора, когда передан-й сигнал. Это и есть выражение для определения качества неквантованного декодирования (декодирования мягких решений).

Пример 7.3.1. Сравним качество двоичной AM в канале с АБГШ, когда приёмник квантует выход на  уровней. Чтобы упростить проблему оптимизации при квантовании сигнала на выходе демодулятора, квантованные уровни располагаются в точках, где  - параметр, определяющий шаг квантования, который должен быть выбран, a  - число бит, определяющие уровни квантования. Хорошая стратегия для выбора  - выбрать его так, чтобы минимизировать ОСШ на бит , которые требуются для работы с кодовой скоростью . Это значит, что параметр шага квантования должен оптимизироваться для любого ОСШ, что означает при практической реализации приёмника, что ОСШ должен измеряться. К сожалению,  не проявляет высокую чувствительность к малым изменениям в ОСШ, так что возможно оптимизировать   для определенного значения ОСШ и получать хорошее качество для широкой области ОСШ вблизи этого номинального значения, используя фиксированное .

Основываясь на таком подходе, выражение для , определяемое (7.3.2), было пересчитано для  (декодирование жестких решений), 2 и 3 бита, соответствующие числу уровней квантования. Результаты даны кривыми на рис. 7.3.2. Величина  для неквантованного декодирования мягких решений, полученная расчетом по (7.3.5), также дана на рис. 7.3.2. Видим, что двухбитовое квантование с  выигрывает около 1,4 дБ относительно декодирования жестких решений, а трехбитовое квантование с  дает дополнительное улучшение на 0,4.

При трёхбитовом квантовании мы проигрываем не более, чем на 0,2 дБ, относительно предельного неквантованного декодирования мягких решений. Ясно, что в будущем можно будет лишь немного выиграть путем улучшения точности обработки.

Рис. 7.3.2. Влияние квантования на помехоустойчивостъ кодовой системы связи при предельной скорости  или  при двоичной ФМ в канале с АБГШ

Если используется недвоичный код совместно с -ичными сигналами, принимаемый сигнал на выходе  согласованных фильтров можно представить вектором. Предельная скорость для этого канала с -ичным входом и -ичным (неквантованным) выходом равна

,              (7.3.6)

где  - условная ФПВ вектора  на выходе демодуляторов при передаче  -го сигнала. Заметим, что (7.3.6) похоже по форме на (7.3.5), за исключением того, что теперь мы имеем при обработке -мерный интеграл, поскольку имеется  выходов демодуляторов.

Предположим, что сигналов ортогональны, так что  выходов, обусловленных частными входными сигналами, статистически независимы. Как следствие,

,                            (7.3.7)

где  - ФПВ выхода согласованного фильтра, соответствующего переданному сигналу с номером , а  определяется сигналами на выходах остальных  согласованных фильтров. Если (7.3.7) подставить в (7.3.6), мы получаем

     (7.3.8)

Максимизация  по набору вероятностей входных сигналов приводит к  для . Следовательно, (7.3.8) ведет

    (7.3.9)

Это – искомый результат для предельной скорости для канала с -ичным входом и -ичным векторным неквантованным выходом.

При когерентном детектировании -ичных ортогональных сигналов соответствующие ФПВ равны

                             (7.3.10)

где  и . Подставив эти соотношения в (7.3.9) и вычислив интеграл, получим

,    (7.3.11)

где  - энергия принимаемого сигнала,  - информационная скорость в битах/сигнал, а  - ОСШ на бит.

Подчеркнём, что параметр скорости  включает в себя кодовую скорость . Для примера если  и код двоичный то . В более общем случае, если код двоичный и , тогда -ичные сигналы содержат  бит информации. Также интересно заметить, что если код двоичный и , тогда (7.3.11) преобразуется к

,     ,           (7.3.12)

что на 3 дБ хуже, чем предельная скорость для противоположных сигналов. Если положим в (7.3.11)  и выполним решение относительно , то получим

                                  (7.3.13)

Зависимость  от  для некоторых значений  иллюстрируется на рис. 7.3.3. Заметим, что кривые насыщаются для любых значениях  при .

Интересно также рассмотреть предельную форму (7.3.11) при . Получаем

                              (7.3.14)

Поскольку , где  - длительность сигнала, то следует

                          (7.3.15)

Рис. 7.3.3. Требуемое ОСШ на бит для работы с предельной скоростью  при использовании -иных ортогональных сигналов и когерентного детектирования в канале с АБГШ

Tаким образом, при  предельная скорость равна половине пропускной способности канала с АБГШ с неограниченной полосой. Альтернативно, подставляя в (7.3.14) даёт (1,4 дБ), что является минимальным значением ОСШ, требуемым для работы со скоростью , когда . Таким образом, при работе со скоростью  требуется на 3 дБ больше мощности, чем предел Шеннона. Величина , определённая (7.3.11), базируется на использовании  ортогональных сигналов, которые субоптимальны, когда  мало. Если мы попытаемся максимизировать  путём выбора наилучшего ансамбля из  сигналов, то не будем удивлены, когда найдём, что оптимальным является ансамбль симплексных сигналов. Действительно,  для этих оптимальных сигналов определяется так:

.                       (7.3.16)

Если сравним это выражение с (7.3.11), то заметим, что  в (7.3.16) просто отражает тот факт, что ансамбль симплексных сигналов энергетически более эффективен в  раз.

В случае некогерентного детектирования ФПВ, соответствующая сумме сигнал + шум и одному шуму, можно выразить так:

                  (7.3.17)

где, по определению . Расчёт  даваемый (7.3.9), не ведёт к замкнутой форме решения. Вместо этого можно интеграл в (7.3.9) рассчитать численно. Результаты для этого случая были даны Джорданом (1966) и Бухером (1980), Для примера, нормированная предельная скорость  для -ичных ортогональных сигналов при некогерентном детектировании дана на рис. 7.3.4 для .

Рис. 7.3.4. Требуемое ОСШ на бит для работы с предельной скоростью  при использовании -ичных ортогональных сигналов и некогерентного детектирования в канале с АБГШ

С целью сравнения мы также дали кривые для предельной скорости при декодировании мягких решений  для -ичных сигналов. В этом случае имеем

    ,      (7.3.18)

где  - вероятность ошибки символа. Для относительно широкого диапазона скоростей, разница между декодированием мягких и жёстких решений составляет приблизительно 2 дБ.

Наиболее удивительное в характеристиках качества, отображённых на рис. 7.3.4, - это то, что здесь имеется оптимальная скорость кода при малом . В отличие от когерентного детектирования, когда ОСШ на бит уменьшается монотонно с уменьшением скорости кода, ОСШ на бит при некогерентном детектировании достигает минимума вблизи нормированной скорости 0,5 и увеличивается как при большей, так и при меньшей скоростях. Минимум довольно широкий, так что здесь имеется область скоростей от 0,2 до 0,9, где ОСШ на бит имеет минимум с разбросом до 1 дБ. Такое характерное поведение характеристики качества при некогерентном детектировании объясняется нелинейной характеристикой детектора.