8.1.4. Оптимальное декодирование мягких решений для линейных блоковых кодов

В этом подразделе мы рассмотрим качество линейных блоковых кодов в канале с АБГШ, когда на приёме используется оптимальное (без квантования) декодирование мягких  решений. Символы кодового слова могут быть переданы посредством произвольных двоичных сигналов одним из методов, описанных в главе 5. Для наших целей мы рассмотрим двоичную (или четверичную) когерентную ФМ, что является наиболее эффективным методом, и двоичную ортогональную ЧМ с когерентным или-некогерентным детектированием.

Пусть  означает энергию переданного сигнала на кодовое слово и пусть  означает энергию сигнала, требуемую для передачи отдельного элемента (бита) кодового слова. Поскольку в кодовом слове  бит, то .Так как кодовые слова содержат  бит информации, то энергия на информационный бит

.                    (8.1.43)

Считается, что все кодовые слова равновероятны с априорной вероятностью .

Допустим, что символы кодового слова передаются посредством двоичной ФМ. Каждое кодовое слово отображается одним из  сигналов. Из главы 5 мы знаем, что приёмник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки на кодовое слово, можно реализовать в канале с АБГШ в виде параллельного банка  фильтров, согласованных с  возможными сигналами. Выходы  согласованных фильтров в конце каждого сигнального интервала, который определяется передачей  символов кодового слова, сравниваются и выбирается кодовое слово, которому соответствует максимальный выход согласованного фильтра. Альтернативно можно использовать  взаимных корреляторов. В любом случае, реализацию приёмника можно упростить. Это значит, что эквивалентный оптимальный приемник можно реализовать, используя единственный фильтр (или коррелятор), согласованный с двоичным ФМ сигналом, использованным для передачи каждого бита кодового слова, а за ним декодер, который формирует  величин для решения, соответствующих  кодовым словам.

Для конкретности, пусть , представляют  последовательных отсчётов выхода единственного согласованного фильтра для конкретного кодового слова. Поскольку используется сигнал двоичной ФМ, выход  можно выразить или так:

,                    (8.1.44)

когда -й разряд кодового слова содержит «1», или так:

,                    (8.1.45)

когда  -й разряд содержит «0». Величины  представляют АБГШ в отсчётных точках. Каждое  имеет нулевое среднее и дисперсию . Зная  возможных к передаче кодовых слов и принятые значения , оптимальный декодер формирует  корреляционных метрик

,                      (8.1.46)

где  означает символ на -ой позиции -го кодового слова. Так, если , взвешивающий множитель , а если , взвешивающий множитель . Такое взвешивание приводит к тому, что корреляционная метрика, соответствующая действительно переданному кодовому слову, будет иметь среднюю величину , в то время как другие  метрик будет иметь меньшее значение.

Хотя вычисления, требуемые для формирования корреляционных метрик для мягкого декодирования согласно (8.1.46), относительно простые, всё же затруднительно вычислять (8.1.46) для всех возможных кодовых слов, когда число кодовых слов велико, например . В этих случаях всё же возможно реализовать декодирование мягких решений, используя алгоритмы, которые применяют технику для отбрасывания неправдоподобных кодовых слов без вычисления всего набора их корреляционных метрик, определяемых (8.1.46). Несколько типов такого декодирования мягких решений были описаны в литературе. Интересующихся этим читателей отошлём к статьям Форни (1966), Уэлдона (1971), Чейза (1972), Вайнберга и Вольфа (1973), Вольфа (1978) и Матиса и Модестино (1982).

Для определения вероятности ошибки блокового кода заметим, что, когда такой код применяется в двоичном симметричном канале, каким является канал с АБГШ, и когда осуществляется оптимальное декодирование мягких решений, то вероятность ошибки при передаче -го кодового слова одинакова для всех . Поэтому для простоты предположим, что передаётся кодовое слово , состоящее из одних нулей. Для правильного декодирования  корреляционная метрика  должна превышать все остальные  корреляционные метрики . Все метрики распределены по Гауссу. Среднее значение  равно  , в то время как средние значения для , равны .

Дисперсия для каждой величины, участвующей в решении, равна . Нахождение точного выражения для вероятности правильного декодирования или, что эквивалентно, нахождение вероятности ошибки в кодовом слове усложняется наличием корреляции между  корреляционными метриками. Коэффициенты взаимной корреляции между  и другими  кодовыми словами равны

,                    (8.1.47)

где  означает вес -го кодового слова .

Вместо того, чтобы пытаться получить точную формулу для вероятности ошибки, мы обратимся к объединённой верхней границе. Вероятность того, что , равна

,                    (8.1.48)

где  - энергия сигнала кодового слова. Подставив для  значение из (8.1.47), а для  значение из (8.1.43.), получаем

,                    (8.1.49)

где  - это ОСШ на бит, а  - скорость кода.

Средняя вероятность ошибки кодового слова ограничена сверху суммой вероятностей ошибок двоичных событий, определяемых (8.1.49.), т.е.

.                    (8.1.50)

Вычисление вероятности ошибки декодирования мягких решений согласно (8.1.50) требует знания распределения весов кода. Распределения весов для многих кодов даны во многих изданиях по теории кодирования, например, Берлекэмпа (1968) и МакВильямса и Слоэна(1977).

Некоторую свободную (неплотную) границу можно получить, заметив, что

.                (8.1.51)

Следовательно,

.                     (8.1.52)

Эта граница особенно полезна, поскольку она не требует знания распределения весов кода. Если верхнюю границу в (8.1.52.) сравнить с характеристикой качества двоичных систем ФМ без кодирования, которые ограничены сверху как , находим, что кодирование даёт выигрыш примерно на  дБ. Мы можем это назвать выигрыш от кодирования. Заметим, что величина выигрыша зависит от параметров кода, а также от ОСШ на бит .

Выражение для вероятности ошибки ансамбля сигналов с одинаковой взаимной корреляцией любой пары, что выполняется для симплексной системы сигналов, описанной в разделе 5.2, позволяет получить третью аппроксимацию для вероятности ошибки передаваемых сигналов. Мы знаем, что максимальное значение коэффициента взаимной корреляции между парой кодируемых сигналов равно

.                    (8.1.53)

Если предположить (в наихудшем случае), что все  кодовых слов имеют коэффициент взаимной корреляции, равный , то вероятность ошибки кодового слова можно легко вычислить. Поскольку некоторые кодовые слова разделены больше, чем на минимальное расстояние, вероятность ошибки, вычисляемая при , имеет фактически верхнюю границу. Таким образом,

.                    (8.1.54)

Границы качества для линейных блоковых кодов, данные выше, даны для вероятности ошибки блока или вероятности ошибки кодового слова.

Получить оценку эквивалентной вероятности ошибки на бит  существенно более сложно. В общем, если произошла ошибка в блоке, некоторые из  информационных бит в блоке будут приняты без ошибки, а некоторые останутся с ошибкой. Для ортогональных сигналов множитель конверсии, на который надо умножить , чтобы получить , равен . Этот множитель равен единице для  и приближается к  по мере увеличения к, что эквивалентно предположению, что, в среднем, половина от  информационных бит будут с ошибкой, когда произошла ошибка в блоке. Множитель, конверсии для кодированных сигналов зависит сложным образом от дистанционных характеристик кода, но он, конечно, не хуже, чем в предположении, что, в среднем, половина из  информационных бита будут с ошибкой, если произошла ошибка в блоке. Следовательно, .

Границы качества, даваемые (8.1.50), (8.1.52) и (8.1.54), также годятся для случая, когда пара двоичных символов кодового слова передаётся четверичной ФМ, поскольку четверичную ФМ можно рассматривать как эквивалент двух независимых двоичных сигналов ФМ, переданных в квадратуре. Более того, границы (8.1.52) и (8.1.54), которые зависят только от минимального расстояния кода, приемлемы также к нелинейным двоичным кодам.

Если для передачи каждого символа кодового слова через канал с АБГШ используется двоичная ортогональная ЧМ, оптимальный приемник можно реализовать посредством двух согласованных фильтров, один согласованный с частотой, соответствующей передаче 0, а другой согласованный с частотой, соответствующей передаче 1. За ними следует декодер, который формирует  корреляционных метрик, соответствующих  возможным кодовым словам. В любом случае, пусть  и  — отсчёты на входе устройство сложения. Корреляционные метрики, сформированные декодером, можно выразить так

,                     (8.1.55)

где  представляет -й символ в -м кодовом слове. Кодовое слово, соответствующее наибольшому из , выбирается в качестве переданного кодового слова.

Если осуществляется когерентное детектирование сигналов двоичной ЧМ, случайные величины  и  являются гауссовскими и, следовательно, корреляционные метрики  также гауссовские. В этом случае границы для качества кода легко найти. Для конкретности, предположим, что передается кодовое слово , состоящее из одних нулей.

Тогда

,                    (8.1.56)

где  - взаимно статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией . Следовательно,  является гауссовской величиной со средним  и дисперсией . С другой стороны, корреляционная метрика , соответствующая кодовому слову с весом , является гауссовской случайной величиной со средним  и дисперсией . Поскольку величины  коррелированны, мы снова обращаемся к объединенной границе. Коэффициенты корреляции определяются так:

.                    (8.1.57)

Следовательно, вероятность того, что , равна

.                     (8.1.58)

Сравнение этого результата с тем, который дается (8.1.49) для когерентной ФМ показывает, что когерентная ФМ требует на 3 дБ меньше ОСШ для достижения того же качества. Это не удивительно с учетом того факта, что некодированная двоичная ФМ на 3 дБ лучше, чем двоичная ортогональная ЧМ при когерентном детектировании. Таким образом, преимущество ФМ относительно ЧМ сохраняется для кодированных сигналов. Затем мы заключаем, что границы, данные (8.1.50), (8.1.52), (8.1.54), приемлемы для кодированных сигналов, передаваемых посредством двоичной ортогональной когерентной ЧМ, если  заменить на .

Если в приёмнике используется квадратичное детектирование двоичных ортогональных ЧМ сигналов, качество дополнительно ухудшается за счёт потерь при некогерентном сложении, как будет указано в гл. 12. Предположим снова, что передаётся кодовое слово из одних нулей. Тогда корреляционные метрики определяются (8.1.55), где величины на входе декодера теперь равны

,                    (8.1.59)

где  и  представляют комплексные статистически взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией . Корреляционная метрика  равна

,                    (8.1.60)

в то время как корреляционные метрики, соответствующие кодовым словам с весом , статистически эквивалентны корреляционным метрикам кодовых слов, в которых  для  и  для . Таким образом,  можно выразить так

.                      (8.1.61)

Разность между  и  равна

,                    (8.1.62)

а вероятность ошибки равна вероятности того, что . Но эта разность является частным случаем общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, рассматриваемых в гл. 12 и в приложении В. Выражение для вероятности ошибки при различении  и одного из сигналов  имеет вид (см. раздел 12.1.1):

,                     (8.1.63)

где, по определению,

.                       (8.1.63)

Объединённая граница, получаемая путём суммирования  по , даёт нам верхнюю границу для вероятности ошибочного декодирования кодового слова.

Как альтернативу, мы можем использовать минимальное расстояние вместо распределения весов, и получить менее плотную верхнюю границу

.                      (8.1.65)

Меру потерь из-за некогерентного сложения, при квадратичном детектировании и сложении  элементарных двоичных сигналов в кодовом слове, можно получить из рис. 12.1.1, если  используется вместо . Полученные потери соответствуют случаю, когда  элементарных двоичных ФМ сигналов сначала детектируются когерентно и складываются согласно (8.1.55), а затем суммы подвергаются квадратичному детектированию или детектируется огибающая для того, чтобы получить  величин для решения. Вероятность ошибки при двоичном различении для последнего случая равна

,                     (8.1.66)

и, таким образом,

.

Если вместо распределения весов использовать , то объединённая граница для вероятности ошибочного декодирования кодового слова в последнем случае определяется так:

.                      (8.1.67)

Требуемую полосу канала для передачи кодированных сигналов можно определить следующим образом. Если для передачи каждого символа кодового слова используется двоичная ФМ, то требуемая полоса примерно равна величине, обратной интервалу времени, требуемого для передачи каждого кодового символа. При скорости передачи  бит/с время, требуемое для передачи  информационных символов и  избыточных (проверочных) символов (всего  символов) равно . Следовательно,

.                        (8.1.68)

Таким образом, коэффициент расширения полосы  для кодированного сигнала

.                    (8.1.69)

С другой стороны, если для передачи кодового символа в кодовом слове используется двоичная ЧМ и некогерентное детектирование, то  и, следовательно, множитель расширения полосы увеличивается примерно в 2 раза относительно ФМ. В любом случае  увеличивается обратно скорости кода или, что эквивалентно, он увеличивается линейно с увеличением размера кода .

Мы теперь в состоянии сравнить и характеристики качества, и требования по полосе для кодированных сигналов при использовании ортогональных сигналов для передачи кодовых элементов. Сравнение выражения для , даваемого (5.2.21) для ортогональных сигналов, и (8.1.54) для кодированных сигналов с ФМ и когерентным приёмом показывает, что кодирование сигналов ведёт к энергетической потере самое большее  дБ относительно ортогональных сигналов, при том же числе сигналов. С другой стороны, если мы скомпенсируем потери в ОСШ, обусловленные кодированием ФМ, увеличением числа кодовых слов, так что передача кодированных сигналов потребует  сигналов, а ортогональных сигналов потребуется , тогда [исходя из объединенных границ (5.2.27) и (8.1.52)] качество, полученное двумя наборами сигналов при больших ОСШ примерно равно, если

.                     (8.1.70)

Исходя из этих условий, множитель расширения полосы для ортогональных сигналов можно выразить так:

,                     (8.1.71)

в то время как для кодированных сигналов имеем . Отношение , даваемое (8.1.71), к

                    (8.1.72)

определяет меру отношения полос между ортогональными сигналами и кодированными сигналами при использовании ФМ и когерентного приёма.

Например, предположим, что мы используем двоичный циклический код (63, 33), который имеет минимальное расстояние . Отношение полос ортогональных сигналов и кодированных сигналов ФМ, определяемое (8.1.72), равно 127. Это указывает на частотную эффективность, получаемую кодированием применительно к ортогональным сигналам.