8.1.6. Сравнение качества декодирования жёстких и мягких решений

Интересно и поучительно сравнить границы характеристик качества линейных блоковых кодов в канале с АБГШ при декодировании мягких и жёстких решений.

Для иллюстрации мы используем код Голея (23, 12), который имеет относительно простое распределение весов, данных в таблице 8.1.1. Как было констатировано раньше, этот код имеет минимальное расстояние . Сначала мы рассчитаем и сравним границы вероятности ошибки при декодировании жёстких решений. Поскольку код Голея (23, 12) является совершенным, точное выражение для вероятности декодирования жёстких решений равно

,                     (8.1.92)

где  - вероятность ошибки двоичного элемента в двоичном симметричном канале. Предполагается, что для передачи двоичных элементов кодового слова используется двоичная (или четверичная) ФМ и осуществляется когерентная обработка в месте приёма.

При этих условиях соответствующее выражение для  дано в (8.1.13). Дополнительно к точному выражению для вероятности ошибки, даваемое (8.1,92), мы имеем нижнюю границу, даваемую (8.1.81) и три верхние границы, даваемые (8.1.88), (8.1.90) и (8.1.91).

Численные результаты, полученные из этих границ, сравниваются с точным значением вероятности ошибки на рис. 8.1.12.

Рис. 8.1.12. Сравнение граничных и точных значений вероятности ошибки для декодирования жестких решений для кода Голея (23,12)

Видим, что нижняя граница очень свободная. При  нижняя граница отличается примерно на 2 дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки. При  разница увеличивается примерно до 4дБ. Из трёх верхних границ наиболее плотная та, которая определяется (8.1.88); она отличается меньше, чем на 1 дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки при . Граница Чернова (8.1.90), которая использует распределения весов, также относительно плотная. Наконец, граница Чернова, которая использует только минимальное кодовое расстояние, наихудшая из трёх. При  она отличается от точного значения вероятности ошибки примерно на 2 дБ. Все три верхние границы очень неточные для значений вероятности ошибки выше .

Интересно также сравнить характеристики качества при декодировании мягких и жёстких решений. Для этого сравнения мы используем верхние границы для вероятности ошибки при декодировании мягких решений, даваемые (8.1.52), и точное выражение для вероятности ошибки для декодирования жёстких решений, определяемое (8.1.92). Рис. 8.1.13 иллюстрирует эти характеристики качества.

Мы видим, что две границы для декодирования мягких решений отличаются примерно на 0,5 дБ при  и примерно на 1 дБ при . Мы также видим, что разница в качестве декодирования жёстких и мягких решений примерно равна 2 дБ в области . В области  кривая вероятности ошибки при декодировании с жёстким решением пересекает кривые для границ вероятности ошибки при декодировании мягких решений. Такое поведение указывает на то, что границы для декодирования мягких решений неточные, когда .

Рис. 8.1.13. Сравнение декодирования мягких и жёстких решений для кода Голея (23,12)

Разница в 2 дБ (по ОСШ на бит) между декодированием жёстких и мягких решений применима не только для кода Голея, но является фундаментальным результатом, который применим в общем к кодированию в системах цифровой связи в каналах с АБГШ. Этот результат получен ниже при расчете пропускной способности канала с АБГШ при декодировании жестких и мягких решений.

Пропускная способность ДОС в битах/символ, полученная в разделе 7.1.2, равна

,                     (8.1.93)

где вероятность ошибочного приёма двоичного элемента  при использовании когерентной ФМ в канале с АБГШ определяется (8.1.13). Предположим, что мы используем (8.1.13) для , и пусть  в (8.1.93), и тогда определим , которое удовлетворяет уравнению. Результат показан на рис. 8.1.14 в форме кривой зависимости  от . Например, предположим, что мы хотим использовать код со скоростью . Для этой скорости кода видим, что минимальное значение ОСШ на бит, требуемое для достижения пропускной способности канала при декодировании жёстких решений, равно примерно 1,6 дБ.

Каков предел ОСШ на бит, когда скорость кода стремится к нулю? Для многих значений  вероятность  можно аппроксимировать так:

                    (8.1.94)

Если выражение для  подставить в (8.1.93), а логарифм в (8.1.93) аппроксимировать как

,

формула для пропускной способности канала сводится к

.                    (8.1.95)

Теперь положим . Тогда, в пределе, когда , получаем результат

      .                        (8.1.96)

Пропускную способность канала с АБГШ с двоичным входом при декодировании мягких решений можно вычислить аналогичным образом. В разделе 7.1.2 мы привели выражение для пропускной способности (в битах на кодовый символ) для этого случая

,                    (8.1.97)

где , , означает ФПВ для выхода демодулятора при условии, что передан, соответственно, символ 0 или 1. Для канала с АБГШ имеем

,                    (8.1.98)

где  и . Безусловная плотность вероятности  определяется половиной суммы  и . Поскольку  стремится к нулю, выражение (8.1.97) для пропускной способности канала можно аппроксимировать формулой

.                      (8.1.99)

Опять предположим . Таким образом, когда , минимальное значение ООН на бит, требуемое для достижения пропускной способности, равно

.                    (8.1.100)

Используя (8.1.98) в (8.1.97) и положив  можно получить численное решение для скорости кода в области . Результат этих расчётов также показан на рис, 8.1.14.

Рис. 8.1.14. Скорость кода как функция минимального ОСШ на бит при декодировании мягких и жёстких решений.

Из вышеизложенного следует, что в пределе, когда  стремится к нулю, разница в ОСШ  между декодированием жёстких и мягких решений равна , что приближённо равно 2 дБ. С другой стороны, по мере увеличения  до единицы, разница в  для двух разновидностей декодирования уменьшается.

Например, при  разница примерно равна 1,5 дБ. Кривые на рис. 8.1.14 дают больше информации, чем только разницу в качестве между декодированием мягких и жёстких решений. Эти кривые подробно определяют требуемые значения минимума ОСШ для данной скорости кода. Например, скорость кода  может обеспечить сколь угодно малую вероятность ошибки при ОСШ на бит 2 дБ, если используется декодирование мягких решений.

Для сравнения заметим, что двоичная ФМ при отсутствии кодирования требует 9,6 дБ для достижения вероятности ошибки . Следовательно, возможен выигрыш в 7,6 дБ при использовании скорости кода . К сожалению, для достижения такого большого выигрыша за счёт кодирования обычно требуется применение очень длинных кодовых блоков, которые ведут к очень сложному приёмнику. Тем не менее, кривые рис. 8.1.14 дают оценку для сравнения выигрыша кодирования, достигаемого практически реализуемыми кодами с основными ограничениями при декодировании мягких или жёстких решений.

Вместо сравнения различия между декодированием жёстких и мягких решений, основанного на соотношениях пропускной способности канала, мы можем делать такие же простые сравнения, основанные на параметрах скорости при случайном кодировании. В главе 7 мы показали, что средняя вероятность ошибки по ансамблю случайно выбранных двоичных кодовых слов имеет верхнюю границу

,                    (8.1.101)

где  - скорость кода, а предельная скорость  связывает верхнюю границу с  так, что  при . Для неквантованного декодирования (мягких решений)  определяется так

,                    (8.1.102)

где  - ОСШ на измерение. Этот результат был получен в разделе 7.2.

С другой стороны, если выход демодулятора квантуется на  уровней до декодирования, то границу Чернова можно использовать в качестве верхней границы для усреднённой по ансамблю вероятностей двоичной ошибки , данной в разделе 7.2. Результат такого расчёта - та же верхняя граница для , определённая по (8.1.101), но с заменой  на , где

.                    (8.1.103)

В (8.1.103)  - априорные вероятности двух сигналов на входе канала и  означают переходные вероятности канала. Например, для случая ДСК и ,  и  следует

,                    (8.1.104)

где

.                    (8.1.105)

Кривые  в зависимости от  иллюстрируется на рис. 8.1.15 для  и  (декодирование мягких решений).

Заметим, что разница в качестве декодирования между неквантованным декодированием мягких решений и декодированием жёстких решений приблизительно равно 2 дБ. Фактически, снова можно легко показать, что при  потеря в качестве, обусловленная декодированием жёстких решений, равна , что является той же разницей в децибелах, которая была получена в нашем сравнении при использовании соотношений для пропускной способности канала. Напомним, что около 1 дБ этих потерь можно восполнить квантованием выхода демодулятора на трёх уровнях вместо двух (см. задачу 7.11). Дополнительное улучшение возможно путём квантования выхода демодулятора на число уровней, большее трёх, как показано в разделе 7.3.

Рис. 8.1.15. Сравнение  (декодирование мягких решений) с  (декодирование жёстких решений) в функции от ОСШ на измерение