8.2.1. Передаточная функция свёрточного кода

Дистанционные свойства и характеристики качества (вероятность ошибки) свёрточного кода можно получить из его диаграммы состояний. Поскольку свёрточный код линейный, набор расстояний Хемминга между кодовыми последовательностями, генерируемыми на определённом шаге дерева и последовательностью из. одних нулей, такой же, как набор расстояний кодовых последовательностей по отношению к другой кодовой последовательности. Следовательно, мы предположим, без потери общности, что входом кодера является последовательность из одних нулей.

Диаграмма состояний, показанная на рис. 8.2.6, будет использована для демонстрации метода получения дистанционных свойств свёрточного кода. Сначала мы пометим ветви на диаграмме состояний как  или , где показатель у  означает расстояние Хемминга между выходной битовой последовательностью, соответствующей ветви, и выходной последовательностью, соответствующей ветви из одних нулей. Собственную петлю у узла  можно исключить, поскольку она ничего не вносит в дистанционные свойства кодовой последовательности относительно кодовой последовательности из одних нулей. Дальше, узел  расщепляется на два узла, один из них представляет вход, а другой выход диаграммы состояний. Рис. 8.2.11 иллюстрирует результирующую диаграмму.

Рис. 8.2.11. Диаграмма состояний для свёрточного кода, имеющего скорость

Мы используем эту диаграмму, которая теперь состоит из пяти узлов, поскольку узел  был расщеплен на два узла, для написания четырех уравнений состояния:

                     (8.2.1)

Передаточная функция кода определяется как . Решив уравнения состояния, данные выше, мы получим

,                      (8.2.2)

где по определению,

                      (8.2.3)

Передаточная функция этого кода указывает на то, что имеется единственный путь с расстоянием Хемминга  от пути из одних нулей, который сливается с путём из одних нулей при данном узле. Из диаграммы состояний, показанной на рис. 8.2.6, или решётчатой диаграммы, показанной на рис. 8.2.5, видно, что путь с  это . Нет других путей из узла  до узла , имеющих расстояние . Второе слагаемое в (8.2.2) указывает на то, что есть два пути от узла  до узла , имеющих расстояние . Снова из диаграммы состояний или решётки мы видим, что этими путями являются  и . Третье слагаемое в (8.1.2) указывает, что есть четыре пути с расстоянием  и так далее. Таким образом, передаточная функция даёт нам дистанционные свойства свёрточного кода. Минимальное расстояние кода называется минимальным свободным расстоянием и обозначается . В нашем примере .

Передаточную функцию можно использовать для получения более детальной информации, чем только расстояния различных путей. Введем множитель  для всех переходов ветвей, вызванных входным битом 1. Тогда, поскольку каждая ветвь пересекается, совокупный показатель  увеличивается на единицу только тогда, когда переход ветви обусловлен входным битом 1. Далее мы вводим множитель  для каждой ветви диаграммы состояний так, что показатель  будет служить счётной величиной, указывающей число ветвей для любого данного пути от узла  к узлу . Для свёрточного кода со скоростью 1/3 в нашем примере диаграмма состояний, которая объединяет суммируемые множители  и , показана на рис. 8.2.12.

Рис. 8.2.12. Диаграмма состояний для свёрточного кода, имеющего скорость 1/3,

Уравнения для диаграммы состояний, показанной на рис. 8.2.12, таковы:

                     (8.2.4)

Решая эти уравнения, получаем передаточную функцию

         (8.2.5)

Эта форма передаточной функции даёт свойства всех путей свёрточного кода. Это значит, что первое слагаемое в выражении  указывает на то, что путь с расстоянием  имеет длину 3 и что из трёх информационных битов один «1». Второе и третье слагаемые в выражении  указывают на то, что из двух слагаемых с расстоянием  одно длиной 4, а второе длиной 5. Два из четырёх информационных бит в пути длиной 4 и два из пяти информационных бит в пути длиной 5 являются «1».

Таким образом, показатель множителя  указывает длину пути, который сливается первый раз с путём из одних нулей, показатель множителя  указывает число «1» в информационной последовательности для этого пути, а показатель  указывает расстояние от последовательности кодированных битов этого пути от последовательности с одними нулями.

Множитель  особенно важен, если мы передаем последовательность конечной длины, скажем,  битов. В этом случае свёрточный код повторяется после  узлов или  ветвей. Это подразумевает, что передаточная функция для усечённого кода получается при усечении  по слагаемому . С другой стороны, если мы передаем экстремально длинную последовательность, т.е. существенно неограниченную по длине последовательность, мы хотим подавить зависимость  от параметра . Это легко выполнить, положив . Так для примера, данного выше, мы имеем

,      (8.2.6)

где коэффициенты  определены (8.2.3).

Процедуру, которую мы описали в общих чертах выше для определения передаточной функции двоичного свёрточного кода, легко расширить на недвоичные коды. В следующем примере мы определим передаточную функцию для недвоичного свёрточного кода, ранее введённого в примере 8.2.3.

Пример 8.2.4. Свёрточный код, показанный на рис. 8.2.10, имеет параметры .

Допустим, что мы трактуем код как недвоичный. Так, вход кодера и выход кодера можно трактовать как четверичные символы. В частности, если мы трактуем вход и выход как четверичные символы 00, 01, 10 и 11, то расстояние, измеряемое в символах между последовательностями 0111 и 0000, равно 2. Далее предположим, что входной символ 00 декодируется как символ 11, тогда мы имеем одну ошибку в символе. Это соглашение, применённое к свёрточному коду, показанному на рис. 8.2.10, приводит к диаграмме состояний, иллюстрируемой рис. 8.2.13.

Из неё мы получаем уравнения состояний:

                     (8.2.7)

Рис. 8.2.13. Диаграмма состояний для недвоичного свёрточного кода, имеющего параметры  скорость 1/2

Решение этих уравнений приводит к передаточной функции

.                     (8.2.8)

Это выражение для передаточной функции особенно применимо тогда, когда четверичные символы на выходе кодера отображаются в соответствующий ансамбль четверичных сигналов , например, четырьмя ортогональными сигналами. Таким образом, здесь имеется взаимно-однозначное соответствие между кодовыми символами и сигналами.

Альтернативно, для примера, выход кодера можно передать как последовательность двоичных символов посредством двоичной ФМ. В таком случае следует измерять расстояние в битах. Если использовать такое соглашение, диаграмма состояний имеет вид рис. 8.2.14.

Решение уравнений состояний, полученное из этой диаграммы состояний, приводит к передаточной функции, которая отличается от той, которая дана (8.2.8).

Некоторое свёрточные коды проявляют характерное поведение, называемое катастрофическим размножением ошибок.

Когда код, который имеет такие характеристики, используется в двоичном симметричном канале, возможно, при ограниченном числе ошибок в канале, неограниченное число ошибок декодирования. Такой код можно идентифицировать из его диаграммы состояний. Она может содержать путь с нулевым расстоянием (путь с множителем ) от некоторого ненулевого состояния обратно в то же самое состояние. Это означает, что может образоваться петля вокруг этого пути с нулевым расстоянием неограниченное число раз без увеличения расстояния относительно пути с одними нулями. Но если эта собственная петля соответствует передаче 1, декодер будет делать неограниченное число ошибок. Поскольку такие коды легко распознать, их легко избежать на практике.

Рис. 8.2.14. Диаграмма состояний для недвоичного свёрточного кодера, имеющего параметры скорость 1/2, выходы которого интерпретируются как двоичные последовательности