8.2.3. Вероятность ошибки при декодирования мягких решений

Тема этого подраздела - качество алгоритма Витерби в канале с АБГШ при декодировании мягких решений.

При расчёте вероятности ошибки для свёрточных кодов для упрощения расчётов используются линейные свойства этого класса кодов. Это значит, что мы предполагаем, что передаётся последовательность из одних нулей и мы определяем вероятность ошибки при решении в пользу другой последовательности. Считается, что кодированные двоичные символы в -й ветви свёрточного кода, обозначенные как  и определённые в разделе 8.2.2, передаются по каналу двоичной ФМ (или четырёхпозиционной ФМ) и детектируется когерентно в демодуляторе. На выходе демодулятора, который соединён со входом декодера Витерби, образуется последовательность , где  определено (8.2.9).

Декодер Витерби мягких решений формирует метрики ветвей, определённые (8.2.14), и по ним рассчитываются метрики путей

                     (8.2.16)

где  означает один из конкурирующих путей в каждом узле, а  - это число ветвей (информационных символов) в одном пути. Например, путь из одних нулей, обозначенный , имеет метрику пути

                       (8.2.17)

Поскольку свёрточный код не обязательно имеет фиксированную длину, мы определим его качество через вероятность ошибки для последовательности, которая первая сливается с последовательностью из одних нулей в узле решётки. В частности, мы определим вероятность первого пересечения другого пути в узле  с путём из одних нулей, как вероятность того, что этот путь имеет метрику, которая превосходит метрику пути из одних нулей первый раз. Предположим, что неправильный путь, отметим его , который сливается с путём из одних нулей, отличается от пути из одних нулей на  бита, то есть в пути  имеются  единиц, а остальные элементы – нули.

Вероятность ошибки при сравнении матриц  и  равна

                     (8.2.18)

Поскольку кодированные символы в двух путях одинаковы, за исключением  позиций, можно (8.2.18) записать в более простой форме

,                      (8.2.19)

где индекс  пробегает по набору из  позиций символов, в которых два пути отличаются, а набор  представляет вход декодера по этим символам.

Слагаемые  представляют собой независимые и одинаково распределенные случайные гауссовские величины со средним  и дисперсией . Следовательно, вероятность ошибки при попарном сравнении этих двух путей, которые отличаются в  позициях, равна

,                       (8.2.20)

где  - ОСШ на бит принимаемого сигнала, a  — скорость кода.

Хотя мы определили вероятность первого пересечения пути, который в  позициях отличается от пути из одних нулей, имеется много возможных путей с различными расстояниями, которые сливаются с путём из одних нулей в узле . Действительно, передаточная функция  дает полное описание всех возможных путей, которые пересекаются (сливаются) с путём из одних нулей в узле , а также их расстояний. Поэтому мы можем суммировать вероятность ошибки (8.2.20) по всем возможным расстояниям путей. Выполнив такое суммирование, мы получаем верхнюю границу для вероятности ошибки первого пересечения в виде

,                     (8.2.21)

где  означает число путей с расстоянием  от пути из одних нулей, которые дает первое пересечение с путём из одних нулей.

Имеются два соображения, почему (8.2.21) является верхней границей вероятности-ошибки первого пересечения. Первое - это то, что события, которые определяют вероятности ошибок , совместные. Это можно видеть из рассмотрения решётки. Второе – при суммировании по всем возможным  мы безоговорочно предполагаем, что свёрточный код имеет неограниченную длину. Если код повторяется периодически после  узлов, верхнюю границу в (8.2.21) можно улучшить путём суммирования ошибочных событии по . Эта тонкость имеет некоторое достоинство при определении качества коротких свёрточных кодов, но её влияние на качество пренебрежимо, когда  велико.

Верхнюю границу в (8.2.21) можно выразить в несколько другой форме, если учесть верхнюю экспоненциальную границу для -функции:

.                     (8.2.22)

Если использовать (8.2.22) в (8.2.21), верхняя граница для вероятности ошибки первого пересечения выражается так:

.                                                                                                     (8.2.23)

Хотя вероятность ошибки при первом пересечении дает меру качества свёрточного кода, более часто используемой мерой качества является вероятность ошибки на бит. Для этой вероятности можно получить верхнюю границу посредством процедуры, использованной для получения верхней границы вероятности ошибки при первом пересечении. Подробнее, мы знаем, что, когда выбирается неправильный путь, информационные символы, по которым отобранный путь отличается от правильного пути, будут декодированы неправильно. Мы также знаем, что показатель в множителе , содержащийся в передаточной функции , указывает на число ошибок по информационным символам (число «1») при выборе неправильного пути, который сливается с путём из одних нулей в одном и том же узле . Если мы умножим вероятность ошибки двоичного перехода  на число неправильно декодированных информационных символов в неправильном пути у узла, где он пересекается с правильным, мы получим вероятность ошибки на бит для этого пути. Средняя вероятность ошибки на бит йграничена сверху путём умножения каждой парной вероятности ошибки  на соответствующее число неправильно декодированных информационных символов, для каждого возможного неправильного пути, который сливается с правильным путём у -го узла, и суммированием по всем  .

Подходящие множители для умножения, соответствующие числу ошибок по информационным символам для каждого неправильно выбранного пути можно получить дифференцированием  по . В общем  можно выразить так

,                         (8.2.24)

где  означает показатель  как функция от . Взяв производную от  по  и положив затем , мы получим

,                      (8.2.25)

где .

Таким образом, вероятность ошибки на бит при  ограничена сверху:

.                       (8.2.26)

Если -функцию ограничить сверху экспонентой, как указано в (8.2.22), тогда (8.2.26) можно выразить в простой форме

.                      (8.2.27)

Если , эквивалентная вероятность ошибки на бит получается путём деления (8.2.26) и (8.2.27) на .

Выражения для вероятности ошибки, данные выше, базируются на предположении, что кодовые символы передаются двоичной ФМ при когерентном приеме. Результаты для  также верны для четырёхфазной когерентной ФМ, поскольку эта техника модуляции/демодуляции эквивалентна двум независимым (квадратурным по фазе) двоичным системам ФМ. Для другой техники модуляции и демодуляции, такая как когерентная и некогерентная ЧМ, результаты можно приспособить путём пересчета парной вероятности ошибки . Это значит, что выбор техники модуляции и демодуляции, использованной для передачи кодированной информационной последовательности, влияет только на расчет . Расчёт  остаётся тем же.

Хотя приведенные выше расчёты вероятности ошибки при декодировании по Витерби свёрточного кода применимы для двоичных свёрточных кодов, относительно легко обобщить их на недвоичные свёрточные коды, в котором каждый недвоичный символ отображается различным сигналом. В частности, коэффициенты  в выражении производной , даваемые (8.2.25), представляют число ошибок в символах в двух путях, разделенных расстоянием (числом символов) в  символов. Снова мы обозначим вероятность ошибки при парном сравнении двух путей, которые разделены расстоянием , через . Тогда вероятность ошибки символа, для -битового символа, ограничена сверху

.

Вероятность ошибки символа можно превратить в эквивалентную вероятность ошибки на бит. Для примера, если используются  ортогональных сигналов для передачи -битовых символов, эквивалентная вероятность ошибки на бит равна , умноженной на множитель , как указано в главе 5.