ЗАДАЧИ

10.1. В двоичной системе АМ выход детектора

где  – желательный сигнал,  – гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией , а  представляет МСИ, обусловленную искажением в канале. Слагаемое МСИ является случайной величиной, которая принимает значения  с вероятностями  и  соответственно. Определите среднюю вероятность ошибки, как функцию от .

10.2. В двоичной системе АМ импульс синхронизации, который определяет момент стробирования выхода коррелятора, сдвинут от оптимального времени стробирования на 10%.

a Если импульс сигнала прямоугольный, определите потерю в ОСШ, обусловленную расстройкой во времени.

b Определите величину МСИ, обусловленной расстройкой во времени, и определите её влияние на качество приёма.

10.3.Частотная характеристика низкочастотного канала может быть аппроксимирована выражением

где  – полоса частот канала. Входной сигнал  с ограниченной полосой частот  Гц проходит через этот канал.

a Покажите, что выход

т.е. канал проходит пару эхо-сигналов.

b Предположим, что принимаемый сигнал  проходит через фильтр, согласованный с . Определите выход согласованного фильтра при , , где  – длительность символа.

c Какова модель МСИ канала, если ?

10.4. Проводной канал длиной 1000 км используется для передачи данных посредством двоичной АМ. Регенеративные повторители размещены через 50 км вдоль линии. Каждый сегмент канала имеет идеальную (постоянную) частотную характеристику в полосе частот  Гц и ослабление 1 дБ/км. Канальный шум – АБГШ.

a Какую максимальную битовую скорость можно передать без МСИ?

b Определите требуемое значение  для достижения вероятности ошибки на бит  для каждого регенератора.

c Определите передаваемую мощность в каждом регенераторе для достижения желательной величины , где  Вт/Гц.

10.5. Докажите соотношение (10.1.13) для автокорреляционной функции шума на выходе согласованного фильтра.

10.6. Для случая АМ с коррелированным шумом, корреляционные метрики в алгоритме Витерби можно выразить в общем виде (Унгербоек, 1974):

где  – отсчеты сигнала на выходе согласованного фильтра,  – последовательность данных,  – принимаемая сигнальная последовательность на выходе согласованного фильтра. Определите метрики для дуобинарного сигнала.

10.7. рассмотрим использование сигнального импульса со спектром (корень квадратный) приподнятого косинуса с коэффициентом ската, равным 1, для передачи сигнала двоичной АМ по идеальному частотно-ограниченному каналу, который передаёт импульс без искажения. Принимаемый сигнал

где сигнальный интервал . Таким образом, скорость передачи символов в два раза больше, чем при отсутствии МСИ.

a Определите величины МСИ на выходе согласованного фильтра демодулятора.

b Постройте решетку для последовательного детектора максимального правдоподобия и обозначьте состояния.

10.8. Двоичные противоположные сигналы передаются по неидеальному частотно-ограниченному каналу, который вызывает МСИ между двумя соседними символами. Для изолированного переданного импульса сигнала  выход демодулятора (при отсутствии шума) равен  при ,  при  и нулю при , где  – энергия сигнала, а  – сигнальный интервал.

a Определить среднюю вероятность ошибки, предполагая, что два сигнала имеют равные вероятности, а аддитивный шум гауссовский и белый.

b Построив кривые вероятности ошибки, полученные в (a) и для случая отсутствия МСИ, определите относительно различие в ОСШ при вероятности ошибки .

10.9. Получите выражение (10.3.5) для коэффициентов фильтра обратной связи ЭОСР.

10.10. Двоичная АМ используется для передачи информации по не выровненному линейному фильтровому каналу. Когда передаётся символ , выход демодулятора (без шума) равен

a. Синтезируйте линейный ЭНВП с тремя ячейками так, чтобы выходы были равны

b. Определите  для  путем свёртки импульсных характеристик эквалайзера и канала.

10.11. Передача сигнального импульса со спектром приподнятого косинуса через канал приводит к следующим выходным отсчётам (без учёта шума) демодулятора:

a. Определите коэффициенты ячеек трёхъячеечного линейного эквалайзера. Основанного на критерии обнуления.

b. Для коэффициентов, определённый в (a), найдите выход эквалайзера для случая изолированного импульса. Определите также остаточную МСИ и её протяженность во времени.

10.12. Неидеальный с ограниченной полосой частот канал вызывает МСИ по трём соседним символам. Отсчеты отклика согласованного фильтра демодулятора в моменты стробирования  равны

a. Определите коэффициенты ячеек трёхъячеечного линейного эквалайзера, который выравнивает характеристику канала (принимаемого сигнала) до эквивалентного сигнала с парциальным откликом (дуобинарный сигнал)

b. Предположим, что за линейным эквалайзером в (a) следует детектор Витерби для сигнала с парциальным откликом. Дайте оценку вероятности ошибки, если аддитивный шум гауссовский и белый со спектральной плотностью мощности  Вт/Гц

10.13. Определите весовые коэффициенты ячеек трёхъячеечного обнуляемого эквалайзера, если МСИ простирается на 3 символа и характеризуется величинами

Определите также остаточную МСИ на выходе эквалайзера для оптимальных коэффициентов ячеек.

10.14. При передаче по радиоканалу прямой видимости сигнала достигает точки приёма по двум путям распространения: прямой путь и путь с запаздыванием, обусловленный сигналом, отражённым от местных предметов. Предположим, что принимаемый сигнал имеет вид

где  – переданный сигнал,  – ослабление  второго луча, а  – АБГШ.

a. Определите выход демодулятора при  и , который создаёт фильтр, согласованный  с сигналом .

b. Определите вероятность ошибки для посимвольного детектора, если передаются двоичные противоположные сигналы, а детектор игнорирует МСИ.

c. Какова характеристика качества (вероятность ошибки) для простейшего (одноячеечного) ЭОСР, который оценивает  и устраняет МСИ? Нарисуйте структуру детектора, который принимает ЭОСР.

10.15. Повторите задачу 10.10, используя минимум СКО в качестве критерия оптимизации коэффициентов ячеек. Предположите, что спектральная плотность мощности шума равна 0,1 Вт/Гц.

10.16. В магнитном записывающем канале, где считывающий импульс, возникающий при положительном переходе записывающего тока, имеет вид

используется линейный эквалайзер для выравнивания импульса к парциальному отклику. Параметр  определяется как ширина импульса на 50% уровне амплитуды. Битовая скорость равна , а отношение  является нормированной плотностью записи.

Предположим, что импульс выравнивается к величинам парциальных откликов ,

где  представляет выровненную огибающую импульса.

a. Определите спектр  ограниченного по полосе выровненного импульса.

b. Определите возможные выходные уровни детектора, предположив, что последовательные переходы могут возникать со скоростью .

c. Определите вероятность ошибки посимвольного детектора для этого сигнала, предполагая, что аддитивный шум гауссовский, с нулевым средний и дисперсией .

10.17. Нарисуйте решетку состояний для детектора Витерби выровненного сигнала из задачи 10.16 и обозначьте все состояния. Определите минимальное эвклидово расстояния между сливающимися путями.

10.18. Рассмотрите задачу выравнивания в эквивалентном канале дискретного времени, показанном на рис. Р10.18. Информационная последовательность  двоичная  и некоррелированная. Аддитивный шум  белый и вещественный с дисперсией . Принимаемая последовательность  обрабатывается линейным трёхъячеечным эквалайзером, который оптимизирован по критерию минимума СКО.

Рис. Р.10.18

a. Определите оптимальные коэффициенты эквалайзера, как функции от .

b. Определите три собственных значения ,  и  ковариационной матрицы  и соответствующие собственные векторы , , и .

с. Определите минимум СКО для трёхъячеечного эквалайзера, как функцию от .

d. Определите выходное ОСШ для трёхъячеечного эквалайзера, как функцию от . Что даёт сравнение с выходным ОСШ для неограниченного по длине эквалайзера? Вычислите выходные ОСШ для этих двух эквалайзеров при .

10.19. Используйте принцип ортогональности для получения уравнений для коэффициентов в эквалайзере с обратной связью по решению, основанном на критерии минимума СКО и даваемом (10.3.3) и (10.3.5).

10.20. Предположим, что модель с дискретным временем для МСИ характеризуется коэффициентами ячеек . Из уравнений для коэффициентов ячеек ЭОСР покажите, что только  ячеек необходимы в фильтре обратной связи. Это значит, что если  являются коэффициентами фильтра обратной связи, то  для .

10.21. Рассмотрим модель канала, показанную на рис. Р.10.21.  – белая шумовая последовательность из вещественных случайных величин с нулевым средним и дисперсией . Предположим, что канал надо выровнять посредством ЭОСР, имеющего двухъячеечный фильтр прямой связи  и одноячеечный фильтр обратной связи . Коэффициенты  оптимизированы на основе критерия минимума СКО.

Рис. Р.10.21

a. Определите оптимальные коэффициенты и их приближенные значения для .

b. Определите точное значение минимума СКО и аппроксимацию первого порядка, соответствующую случаю .

c. Определите точное значение выходного ОСШ для трёхъячеечного эквалайзера, как функцию от , и аппроксимацию первого порядка, соответствующую случаю .

d. Сравните результаты (b)и (c) с качеством ОСР неограниченной длины.

e. Рассчитайте и сравните точные значения выходного ОСШ для двухъячеечного и неограниченного по длине ЭОСР для частного случая, когда  и . Прокомментируйте насколько трёхъячеечный эквалайзер приближается к характеристикам неограниченного по длине ЭОСР.

10.22. Импульс и его спектр (типа приподнятого косинуса) показаны на рис. Р.10.22. Этот импульс используется для передачи цифровой информации по каналу с ограниченной полосой пропускания со скоростью  символов/с.

a. Каков коэффициент ската ?

b. Какова скорость передачи импульсов?

c. Канал искажает сигнальный импульс. Предположим, что отсчетные значения отфильтрованного принимаемого импульса  таковы, как на рис.Р.10.22.(c). Очевидно, что имеются пять интерферирующих компонент сигнала. Укажите последовательность из символов , которая вызывает наибольшую (благоприятную и неблагоприятную) интерференцию) и соответствующие значения величины интерференции (пиковое искажение).

d. Какова вероятность возникновения наихудшей последовательности, полученной в (c), если предположить, что двоичные символы передаются равновероятно и независимо?

Рис. Р.10.22

10.23. Канал  с рассеянием во времени с импульсным откликом  используется для передачи черырёхфазовой ФМ со скоростью  символов/с. Эквивалентный канал с дискретным временем показан на рис. Р.10.23.  Последовательность  - белый гауссовский шум с нулевым средним и дисперсией .

Рис. Р.10.23

a. Каковы отсчеты автокорреляционной функции , определённые выражением

для этого канала?

b. Минимум СКО линейного эквалайзера и эквалайзера с ОСР с неограниченным числом ячеек зависит от сложенной спектральной характеристики канала

где - преобразование Фурье от . Определите сложенную частотную характеристику канала, данного выше.

c. Используйте Ваш ответ в (b) для получения минимума СКО линейного эквалайзера через сложенную частотную  характеристику канала (можно оставить ответ в интегральной форме).

d. Повторите (c) для эквалайзера с ОСР с неограниченным числом ячеек.

10.24. Рассмотрите систему четырёхуровневой АМ, которая может передавать уровни . Канал вносит МСИ по двум соседним символам. Модель эквивалентного канала с дискретным временем показана на рис. Р.10.24.

  - это последовательность вещественных независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним и дисперсией . Принимаемая последовательность

Рис. Р.10.24

a. нарисуйте структуру дерева, показывающего возможные сигнальные последовательности для принимаемых сигналов  и .

b. предположим, что используется алгоритм Витерби для детектирования информационной последовательности. Сколько вероятностей надо вычислить на каждом шаге работы алгоритма?

c. Сколько выживших последовательностей имеется в алгоритме Витерби в этом канале?

d. предположим, что принимаемые сигналы

Определите выжившие последовательности на шаге  и соответствующие метрики.

e. Дайте плотную верхнюю границу для вероятности ошибки при передаче по каналу четырёхуровневой АМ.

10.25. Трансверсальный эквалайзер с  ячейками имеет импульсную характеристику

где  - задержка между соседними ячейками, а передаточная функция

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для коэффициентов эквалайзера  определяется выражением

Обратное ДПФ определяется выражением

a. Покажите, что  при подстановке  в предыдущее выражение.

b. Из соотношений, данных выше, определите структуру эквивалентного фильтра, имеющего -преобразование

c. Если представлено каскадным соединением двух отдельных фильтров  и , нарисуйте блок-схему для каждого фильтра, используя  для обозначения единичной задержки.

d. В трансверсальном фильтре настраиваемыми параметрами являются коэффициенты эквалайзера . Каковы настраиваемые параметры эквивалентного эквалайзера в (b) и как они связаны с ?