15.2. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ МЕТОДОВ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА

Интересно сравнить FDMA, TDMA и CDMA по информационной скорости, которую каждый из методов множественного доступа достигает в идеальном канале с полосой частот и АБГШ. Сравним пропускную способность пользователей, где каждый пользователь имеет среднюю мощность для всех . Напомним, что в идеальном частотно-ограниченном канале с полосой и АБГШ пропускная способность одного пользователя равна

, (15.2.1)

где - спектральная плотность аддитивного шума. В FDMA каждый пользователь локализован в полосе . Следовательно, пропускная способность каждого пользователя равна

, (15.2.2)

а суммарная пропускная способность для пользователей равна

. (15.2.3)

Следовательно, суммарная пропускная способность эквивалентна пропускной способности одного пользователя со средней мощностью .

Интересно отметить, что при фиксированной полосе суммарная пропускная способность становится неограниченной, если число пользователей линейно возрастает с . С другой стороны, когда возрастает, каждый пользователь занимает меньшую полосу и, как следствие, пропускная способность на пользователя уменьшается. Рис. 15.2.1 иллюстрирует пропускную способность на пользователя, нормированную полосой канала , как функцию от с параметром . Это выражение определяется так

. (15.2.4)

Рис. 15.2.1. Нормированная пропускная способность как функции от для FDMA.

Более компактная форма (15.2.4) получается путем определения нормированной суммарной пропускной способности , которая определяет суммарную битовую скорость всех пользователей на единицу полосы частот. Таким образом, (15.2.4) можно выразить так

, (15.2.5)

или, эквивалентно

(15.2.6)

Зависимость от показана на рис. 15.2.2. Мы видим, что растет с ростом , если оно больше минимального значения .

Рис.15.2.2. Суммарная нормированная пропускная способность как функция от для FDMA

В системе TDMA каждый пользователь передает по каналу в полосе на интервале времени со средней мощностью . Следовательно, пропускная способность на пользователя равна

, (15.2.7)

что равно пропускной способности TDMA системы. Однако с практической точки зрения мы должны подчеркнуть, что в TDMA передатчики не всегда могут поддерживать мощность передачи , если очень велико. Следовательно имеется практический предел, выше которого мощность передатчика нельзя увеличить с ростом .

В CDMA системе каждый пользователь передает псевдослучайный сигнал с полосой и средней мощностью . Пропускная способность системы зависит от уровня сотрудничества между пользователями. В экстремальном случае имеем CDMA без сотрудничества, когда приёмник для каждого сигнала пользователя не знает рассеянный сигнал других пользователей или выбирается с игнорированием этого знания в процессе демодуляции. Тогда сигналы других пользователей проявляются как интерференция на приёме у каждого пользователя. В этом случае приёмник многих пользователей состоит из банка приёмников отдельных пользователей. Если предположим, что псевдослучайный сигнал каждого пользователя гауссовский, тогда сигнал каждого пользователя поражается гауссовской интерференцией мощностью и аддитивным гауссовским шумом мощности . Следовательно, пропускная способность на пользователя

, (15.2.1)

или, что эквивалентно

, (15.2.9)

Рис. 15.2.3 иллюстрирует зависимость от с параметром .

Рис. 15.2.3. Нормированная пропускная способность как функция от для несогласованной CDMA.

При большом числе пользователей мы можем использовать аппроксимацию . Следовательно,

, (15.2.10)

или, что эквивалентно,

, (15.2.11)

В этом случае мы видим, что суммарная пропускная способность не увеличивается с ростом , как при FDMA и TDMA. С другой стороны, предположим, что пользователей сотрудничают посредством синхронной передачи во времени и приёмник многих пользователей знает рассеяние сигналов всех пользователей и совместно демодулирует и детектирует все сигналы пользователей. Пусть каждый пользователь имеет скорость передачи , и кодовый словарь, содержащий набор из кодовых слов мощностью . На каждом сигнальном интервале каждый пользователь выбирает произвольное кодовое слово, скажем, , из своего собственного кодового словаря и все пользователи передают их кодовые слова одновременно. Таким образом, декодер на приеме наблюдает

, (15.2.12)

где - вектор аддитивного шума. Оптимальный декодер выносит решение по кодовым словам, одно по каждому кодовому словарю, в пользу слов, которые образуют векторную сумму, которая наиболее близка по Евклиду к принимаемому вектору .

Достигаемый - мерный диапазон скоростей для пользователей в канале с АБГШ, при условии равенства мощностей каждого пользователя, дается следующим уравнением:

(15.2.13)

(15.2.14)

…

, (15.2.15)

Для частного случая, когда все скорости одинаковы, неравенство (15.2.15) доминирует относительно других неравенств. Отсюда следует, что если скорости для сотрудничающих синхронных пользователей выбираются так, чтобы вместиться в область пропускной способности, определенную вышеприведенными неравенствами, тогда вероятность ошибки для пользователей стремится к нулю, когда длина кодового блока стремится к бесконечности.

Из приведенного обсуждения мы заключаем, что сумма скоростей пользователей становится неограниченной с ростом . Следовательно, при сотрудничающих синхронных пользователей пропускная способность CDMA имеет форму похожую на форму FDMA и TDMA. Заметим, что если все скорости пользователей CDMA системы выбраны одинаковыми и равными , тогда (15.2.15) дает

, (15.2.16)

что идентично ограничению скорости для FDMA и TDMA. В этом случае CDMA не обеспечивает большую скорость, чем FDMA и TDMA. Однако, если скорости пользователей выбираются неравными так, чтобы неравенства (15.2.13)—(15.2.15) выполнялись, тогда возможно найти такие точки в достижимой области скоростей, что сумма скоростей пользователей CDMA превосходит пропускную способность FDMA и TDMA.

Пример 15.2.1. Рассмотрим случай двух пользователей в системе CDMA, которые используют кодированные сигналы, описанные выше. Скорости двух пользователей должны удовлетворять неравенствам

где - средняя переданная мощность каждого пользователя, a - полоса частот сигнала. Определим область пропускной способности, для системы CDMA с двумя пользователями.

Область пропускной способности для CDMA с двумя пользователями с кодированными сигналами имеет форму, иллюстрированную на рис. 15.2.4, где

- это пропускные способности, соответствующие двум пользователям с .

Рис. 15.2.4. Область пропускной способности гауссовского канала с CDMA с двумя пользователями

Заметим, что если пользователь 1 передает с пропускной способностью , то пользователь 2 может передавать с максимальной скоростью

, (15.2.17)

что иллюстрируется на рис. 15.2.4 точкой . Этот результат имеет интересную интерпретацию. Мы видим, что соответствует случаю, когда сигнал пользователя 1 рассматривается как эквивалентный аддитивный шум при детектировании сигнала пользователя 2. С другой стороны, пользователь 1 может передавать с пропускной способностью , поскольку приёмник знает передаваемый сигнал пользователя 2 и, следовательно, он может ограничить его влияние при детектировании сигнала пользователя 1.

Вследствие симметрии аналогичная ситуация существует если пользователь 2 передает с пропускной способностью . Тогда пользователь 1 может передавать с максимальной скоростью , что иллюстрируется на рис. 15.2.4 точкой . В этом случае мы имеем аналогичную интерпретацию, как выше с заменой ролей пользователей 1 и 2.

Точки и соединяются прямой линией. Легко видеть, что эта прямая линия является границей достижимой области скоростей, поскольку любая точка линии соответствует максимальной скорости , которую можно достичь простым делением во времени канала между двумя пользователями.

В следующем разделе мы рассмотрим проблему детектирования сигнала для систем CDMA со многими пользователями и оценим качество и вычислительную сложность нескольких структур приёмника.