ЗАДАЧИ

2.1. Один эксперимент имеет четыре взаимосвязанных результата , , а второй эксперимент имеет три взаимосвязанных результата , . Совместные вероятности

Определите вероятность , , и , .

2.2. Случайные величины , , имеют СФПВ . Докажите, что

.

2.3. Дана  - ФПВ случайной величины . Случайная величина  определяется как , где .

Определите ФПВ  через ФПВ .

2.4. Предположим, что  является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией.

Пусть , . Определите и постройте график ФПВ для .

2.5. а) Пусть  и  - статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями. Покажите, что преобразование (поворот) вида  порождает другую пару  гауссовских случайных величин, которые имеют ту же СФПВ, что и пара .

b) Заметим, что в п. а) , где  - матрица размерности . В порядке обобщения двухмерного преобразования гауссовских случайных величин из а) определите, какие свойства должны быть у матрицы (преобразования)  для тоге, чтобы ФПВ  и , где ,  и , были бы одинаковыми.

2.6. Случайная величина  определяется как , где ,  - статистически независимые случайные величины, причем

a) Определите характеристическую функцию .

b) При помощи характеристической функции определите момент  и .

2.7. Четыре случайные величины ,,, являются совместно гауссовскими с нулевыми средними, с ковариацией  и характеристической функцией . Покажите, что .

2.8. При помощи характеристической функции для центрального и нецентрального хи-квадрат-распределения случайных величин, определяемых соответственно по формулам (2.1.109)           и (2.1.117), определите соответствующие первые и вторые моменты (формулы (2.1.112) и (2.1.125)).

2.9. Случайная величина  распределена по Коши с ФПВ

,   .

a) Определите среднее и дисперсию .

b) Определите характеристическую функцию .

2.10. Случайная величина  определена как , где ,  - статистически независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет распределение Коши из задачи 2.9.

a) Определите характеристическую функцию .

b) Определите ФПВ для .

c) Рассмотрите ФПВ  в пределе при . Работает ли центральная предельная теорема? Обоснуйте ваш ответ.

2.11. Предположим, что случайные процессы  и  являются совместно и по отдельности стационарными.

a) Определите функцию автокорреляции .

b) Определите автокорреляционную функцию  для случая, когда  и  не коррелированы.

c) Определите автокорреляционную функцию для случая, когда  и  являются некоррелированными и имеют нулевые средние.

2.12. Функция автокорреляции случайного процесса  определяется так: .

Такой процесс называется белым шумом. Пусть  является входом для идеального полосового фильтра с частотной характеристикой, показанной на рис. 2.12. Определите суммарную мощность шума на выходе фильтра.

Рис. Р2.12

2.13. Дана ковариационная матрица  случайных величин , и .

Осуществлено линейное преобразование , где

.

Определите ковариационную матрицу для .

2.14. Пусть  является вещественным стационарным гауссовским процессом с нулевым средним. Пусть новый процесс определен как . Определите автокорреляционную функцию  через автокорреляционную функцию . Подсказка: используйте результат для гауссовских случайных величин и задачи 2.7.

2.15. Для ФПВ Накагами (формула 2.1.147) определите нормированную случайную величину . Найдите ФПВ для .

Рис. Р2.16

2.16. Входным воздействием цепи, показанной на рис. 2.16, является случайный процесс  с  и , т.е.  является белым шумом.

a) Определите спектральную плотность мощности выхода .

b) Определите  и .

2.17. Докажите справедливость (2.2.38).

2.18. Докажите, используя границу Чернова, что , где  определяется (2.1.97).

2.19. Определите среднее, автокорреляционную последовательность и спектральную плотность мощности для сигнала на выходе системы (цифрового фильтра) с импульсной характеристикой

если входной случайный процесс  является белым шумом с дисперсией .

2.20. Автокорреляционная последовательность дискретного во времени случайного процесса равна .

Определите его спектральную плотность мощности.

2.21. Случайный процесс с дискретным временем  получен периодическим стробированием стационарного процесса  с непрерывным временем и нулевым средним, где  - период стробирования, т.е.  является скоростью выборки отсчетов.

a) Определите соотношения между функцией автокорреляции сигнала  и автокорреляционной последовательностью его отсчётов.

b) Выразите спектральную плотность мощности процесса  через спектральную плотность мощности процесса .

c) Определите условия, при которых спектральная плотность мощности  равна спектральной плотности мощности .

2.22. Рассмотрим частотно-ограниченный стационарный случайный процесс  с нулевым средним и спектральной плотностью мощности (квазибелый случайный процесс)

Для образования процесса с дискретным временем  берутся отсчёты  со скоростью .

a) Определите выражение для автокорреляционной последовательности .

b) Определите минимальное значение , необходимое для получения «белой» последовательности (спектрально ровной).

c) Повторите b) для случая, когда спектральная плотность для  определена как

2.23. Покажите, что функции

,

являются ортогональными на интервале , т. е.

Следовательно, формулу из теоремы отсчётов можно рассматривать как представление частотно-ограниченного сигнала  обобщённым рядом Фурье, где веса разложения - это отсчёты сигнала , а  - ансамбль ортогональных функций, используемых в ортогональном разложении.

2.24. Эквивалентная шумовая полоса частот системы определена как , где . Используя это определение, найдите эквивалентную шумовую полосу идеального полосового фильтра, показанного на рисунке Р2.12, и низкочастотного фильтра, показанного на рисунке Р2.16.