3.4.2. Скалярное квантование

При кодировании источника квантователь может быть оптимизирован, если известна ФПВ уровней сигнала на входе квантователя. Например, предположим, что последовательность  на входе квантователя имеет ФПВ  и  - желаемое число уровней квантования. Необходимо рассчитать оптимальный скалярный квантователь, который минимизирует некоторую функцию ошибки квантования , где  - квантованное значение . Для дальнейшей разработки предположим, что  определяет желательную функцию ошибки. Тогда искажение, возникающее за счёт квантования сигнальных уровней, равно

.                                                       (3.4.22)

В общем, оптимальный квантователь минимизирует  путём оптимального выбора выходных уровней и входного диапазона для каждого выходного уровня. Эту оптимизационную проблему рассматривали Ллойд (1982) и Макс (1960), и полученный оптимальный квантователь назван квантователем Ллойда-Макса.

У равномерного квантователя выходные уровни определяются как  для амплитуды входного сигнала в диапазоне , где  - размер шага квантования. Если квантователь симметричен (относительно нуля) с конечным числом уровней, среднее искажение (3.4.22) может быть выражено в виде

.         (3.4.23)

В этом случае минимизация  выполняется с учётом параметра размера шага .

Путём дифференцирования  по  получаем

,      (3.4.24)

где  означает производную . При выборе критериальной функции ошибки  можно получить численное решение (3.4.24) для оптимального размера шага на компьютере для произвольной заданной ФПВ . Для среднеквадратичного критерия ошибки, кода , Макс(I960) рассчитал оптимальный размер шага  и минимальное значение среднеквадратической ошибки, когда ФПВ  является гауссовской с нулевым средним и единичной дисперсией. Некоторые из этих результатов даны в табл. 3.4.2.

Таблица 3.4.2. Оптимальные размеры шага при равномерном квантовании гауссовских случайных величин

Число выходных уровней	Оптимальный размер шага	Минимум СКО	(дБ)
2	1,596	0,3634	-4,4
4	0,9957	0,1188	-9,25
8	0,5860	0,3744	-14,27
16	0,3352	0,01154	-19,38
32	0,1881	0,00349	-24,57

Видим, что минимальная среднеквадратическая ошибка  уменьшается немного больше, чем на 5 дБ, при каждом удвоении числа уровней . Следовательно, каждый бит, который используется равномерным квантователем с оптимальным размером числа  для гауссовского входного сигнала уменьшает искажение более чем на 5 дБ.

Если соблюдать условие, что квантователь равномерный, искажение можно дополнительно уменьшить. В этом случае мы выберем выходной уровень , когда амплитуда входного сигнала находится в диапазоне . Для квантования с  уровнями крайними точками являются  и . Результирующее искажение

                                                           (3.4.25)

снова минимизируется путём оптимального выбора  и .

Необходимые условия для минимальных искажений можно получить дифференцированием  по  и . Результат такой оптимизации выражается двумя уравнениями:

, ,                         (3.4.26)

, .                             (3.4.27)

Как частный случай мы снова рассмотрим минимизацию среднеквадратических значений искажений. В этом случае, , и, следовательно, из (3.4.26) следует

, ,                                     (3.4.28)

что является среднеарифметическим  и . Соответствующие уравнения, определяющие ,

, .                                 (3.4.29)

Таким образом,  является центроидом области  между  и . Эти уравнения могут быть решены численно для произвольных ФПВ . Таблицы 3.4.3 и 3.4.4 дают результаты оптимизации Макса (1960) для оптимального четырёхуровневого и восьмиуровневого квантователя сигнала, распределённого по Гауссу с нулевым средним и единичной дисперсией.

Таблица 3.4.3. Оптимальный 4-уровневый квантователь для гауссовской случайной величины

Уровень
1	-0,9816	-1,510
2	0,0	-0,4528
3	0,9816	0,4528
4		1,510
дБ

Таблица 3.4.4. Оптимальный 8-уровневый квантизатор для гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

Уровень
1	-1,748	-2,152
2	-1,050	-1,344
3	-0,5006	-0,7560
4	0	-0,2451
5	0,5006	0,2451
6	1,050	0,7560
7	1,748	1,344
8		2,152
дБ

В таблице 3.4.5 сравниваются минимальные среднеквадратические искажения для гауссовской амплитуды сигнала в равномерном и неравномерном квантователях. Из этой таблицы мы видим, что разница в характеристиках двух типов квантователей относительно мала для малых значений  (меньше чем 0,5 дБ для ), но она растёт с ростом . Например: при , неравномерный квантователь примерно на 1,5 дБ лучше равномерного.

Таблица 3.4.5. Сравнение оптимальных равномерного и неравномерного квантизаторов для гауссовской случайной величины (Макс, 1960; Паез и Глиссон, 1972)

(бит/отсчёт)
	Равномерное (дБ)	Неравномерное (дБ)
1	-4,4	-4,4
2	-9,25	-9,30
3	-14,27	-14,62
4	-19,38	-20,22
5	-24,57	-26,02
6	-29,83	-31,89
7	-35,13	-37,81

Поучительно построить кривые зависимости минимальных искажений от битовой скорости  бит на отсчёт (на символ) источника для равномерного и неравномерного квантователей.

Эти кривые даны на рис. 3.4.2. Функциональную зависимость искажений  от битовой скорости  можно выразить как  - функцию искажение-скорость. Мы видим, что функция искажение-скорость для оптимального неравномерного квантователя лежит ниже, чем для равномерного квантователя. Поскольку квантователь превращает непрерывную амплитуду источника в дискретную, мы можем трактовать дискретные амплитуды как символы, скажем  с соответствующими вероятностями . Если отсчёты сигнала амплитуды статистически независимы, то на выходе квантователя имеем дискретный источник без памяти, и, следовательно, его энтропия

.                                          (3.4.30)

Рис. 3.4.2. Кривые зависимости искажение-скорость для гауссовского источника без памяти с дискретным временем

Для примера: оптимальный четырёхуровневый неравномерный квантователь для распределённой по Гауссу амплитуды приводит к вероятностям  для двух внешних уровней и  для двух внутренних уровней. В этом случае энтропия дискретного источника  бит/символ. Следовательно, при помощи энтропийного кодирования (кодирование Хаффмена) блоков выходных символов мы можем достичь минимальных искажений (-9,30 дБ) посредством 1,911 бит/символ вместо 2 бит/символ. Макс (1960) определил энтропию для дискретных символов источника после процесса квантования. Таблица 3.4.6 показывает значение энтропии при неравномерном квантовании. Зависимость  для этого случая также показана кривой на рис. 3.4.2 и обозначена как энтропийное кодирование.

Таблица 3.4.6. Энтропия выхода оптимального неравномерного квантователя гауссовской случайной величины (Макс, 1960)

(бит/отсчёт)	Энтропия (бит/символ)	Искажения
1	1,0	-4,4
2	1,911	-9,30
3	2,825	-14,62
4	3,765	-20,22
5	4,730	-26,02

Из этого обсуждения мы заключаем, что качество квантователя можно анализировать, когда известна ФПВ непрерывного выхода источника. Оптимальный квантователь с  уровнями обеспечивает минимальное искажение , где  бит/отсчёт. Такого уровня искажений можно достичь простым представлением каждого квантованного отсчёта  битами. Однако возможно более эффективное кодирование. Дискретные выходы квантователя характеризуются рядом вероятностей , которые можно использовать для расчёта эффективных неравномерных кодов для выхода источника (энтропийное кодирование). Эффективность какого-либо метода кодирования можно сравнить с функцией искажение-скорость или, что эквивалентно, с функцией скорость-искажение для дискретного времени и непрерывных амплитуд источника, характеризуемого данной ФПВ. Если мы сравним характеристики оптимального неравномерного квантователя с функцией искажение-скорость, мы найдём, например, что для искажения в -26 дБ энтропийное кодирование требует скорость на 0,4 бит/отсчёт больше, чем минимальная скорость, даваемая (3.4.8), а простое блоковое кодирование каждого символа требует скорость на 0,68 бит/отсчёт больше, чем минимальная скорость. Мы также видим, что функция искажение-скорость для оптимального равномерного и неравномерного квантователей гауссовского источника асимптотически приближается к наклону -6 дБ/бит для больших .