ЗАДАЧИ

5.1. Согласованный фильтр имеет частотную характеристику

a) Определите импульсную характеристику , соответствующую

b) Определите сигналы, с которыми фильтр согласован.

5.2. Рассмотрите сигнал

a) Определите импульсную характеристику фильтра, согласованного с этим сигналом

b) Определите выход согласованного фильтра при

c) Допустим, что сигнал  прошёл через автокоррелятор. Определите сигнал на выходе автокоррелятора при . Сравните ваш результат с результатом (b).

5.3. Эта задача касается характеристик сигналов ДФМ.

a) Предположим, что мы хотим передать последовательность данных

посредством двоичной ДФМ. Пусть  представляет переданный сигнал на некотором сигнальном интервале длительностью . Определите фазу переданного сигнала для последовательности данных. Начните с  для передачи фазы первого бита.

b) Если последовательность данных не коррелирована, определите и нарисуйте спектральную плотность мощности переданного сигнала ДФМ.

5.4. Для передачи информации двоичная цифровая система связи использует сигналы

Демодулятор выдает результат взаимной корреляции принимаемого сигнала  и  и стробирует выход коррелятора в момент .

a) Определите оптимальный детектор для канала с АБГШ и оптимальный порог, предполагая, что сигналы равновероятны.

b) Определите вероятность ошибки как функцию ОСШ. Насколько ОСШ надо поднять по сравнению с противоположными сигналами при одинаковой вероятности ошибки.

5.5. Метрики корреляции, даваемые (5.1.44), равны

где

Покажите, что эти корреляционные метрики эквивалентны метрикам

5.6. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный сигнал , с энергией .

Предположите, что этот сигнал искажается в канале с АБГШ, который представлен эквивалентньш низкочастотным шумом . Таким образом, наблюдаемый сигнал равен

Принимаемый сигнал проходит через фильтр, который имеет эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику .

Определите  так, чтобы фильтр максимизировал ОСШ на своем выходе (в момент ).

5.7. Пусть  является комплексным белым гауссовским шумовым процессом с нулевым средним и функцией автокорреляции     . Пусть , является ансамблем  ортогональных эквивалентных низкочастотных сигналов, определенных на интервале . Найдите

a) Определите дисперсию для .

b) Докажите, что  для .

5.8. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. Р5.8, используются для передачи двоичной последовательности по каналу с АБГШ.

Рис. Р5.8

Принимаемый сигнал можно выразить так:

где  - гауссовский процесс с нулевым средним и автокорреляционной функцией

a) Определите переданную энергию посредством  и  и коэффициент взаимной корреляции этих сигналов .

b) Предположим, что приёмник построен как когерентный детектор с использованием двух согласованных фильтров: один согласован с , другой – с .Нарисуйте эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику согласованного фильтра.

с) Нарисуйте свободные от шума отклики двух согласованных фильтров, если передаётся сигнал .

d) Предположим, что приёмник состоит из двух взаимных корреляторов (умножителей, за которыми следуют интеграторы), работающих параллельно. Нарисуйте выход каждого интегратора как функцию времени на интервале , когда передаётся сигнал .

e) Сравните рисунки, полученные в (c) и (d). Объясните результат.

f) Зная характеристики сигналов, дайте выражение для вероятности ошибки для этих двоичных систем связи.

5.9. Допустим, что имеется комплексная гауссовская случайная величина , где  - статистически независимые величины с нулевыми средними и дисперсией . Пусть

 где

и определите  так:

Ясно, что  и . Определите следующие ФПВ:

a) ,

b) , где , а ,

c) .

Замечание: в (b) удобно определить , так что

Далее следует использовать соотношение

где  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

5.10. Троичная система связи передает один из трех сигналов , 0 или  каждые  секунд. Принимаемый сигнал равен  или , где  - белый гауссовский шум с  и . Оптимальный приёмник вычисляет корреляционные метрики

и сравнивает  с порогами  и . Если , принимается решение, что передан . Если , то принимается решение в пользу . Если , то принимается решение в пользу нуля.

a) Определите три условных вероятностях ошибки:  при условии, что передан  при условии, что передан  и  при условии передачи 0.

b) Определите среднюю вероятность ошибки  как функцию от порога , предполагая, что три сигнала априорно равновероятны.

c) Определите величину , которая минимизирует

5.11. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. P5.11, используются для передачи двоичной информационной последовательности. Передаваемые с одинаковой вероятностью сигналы подвергается воздействию АБГШ с нулевым средним, который имеет эквивалентное низкочастотное представление  с функцией корреляции

a) Какова энергия передаваемого сигнала?

b) Какова вероятность ошибки на бит, если в приёмнике используется когерентное детектирование?

c) Какова вероятность ошибки на бит, если в приёмнике используется некогерентное детектирование?

5.12. В разд. 4.3.1 было показано, что минимальный разнос частот для ортогонализации двоичных сигналов ЧМ с когерентным детектированием равен .

Рис. Р5.11

Однако ещё меньшие значения вероятности ошибки возможны при когерентном детектировании ЧМ, если  больше, чем . Покажите, что оптимальное значение  равно  и определите вероятность ошибки для этой величины .

5.13.  Эквивалентные низкочастотные сигналы для трёх ансамблей сигналов показаны на рис. Р5.13. Каждый ансамбль можно использовать для передачи одного из четырёх равновероятных сообщений через канал с АБГШ. Эквивалентный низкочастотный шум  имеет нулевое среднее и функцию корреляции .

a) Классифицируйте сигналы в ансамблях I, II и III. Другими словами, установите класс, к которому относится каждый сигнальный ансамбль.

b) Какова средняя передаваемая энергия для каждого сигнального ансамбля?

Рис. Р5.13

c) Для сигналов ансамбля I определите среднюю вероятность ошибки, если сигналы детектируются когерентно.

d) Для сигналов ансамбля II дайте объединённую границу для вероятности ошибки на символ, если детектирование выполняется когерентно (i) и некогерентно (ii).

e) Возможно ли некогерентное детектирование для сигналов ансамбля III. Объясните.

f) Какой сигнальный ансамбль или сигнальные ансамбли вы выберете, если желаете достичь отношения битовой скорости к полосе частот  не менее 2. Кратко объясните ваш ответ.

5.14. Рассмотрите четырехпозиционную  систему связи, которая передает каждые  секунд один из четырех равновероятных сигналов . Сигналы  и  ортогональны и с равной энергией. Аддитивный шум гауссовский белый с нулевым средним и автокорреляционной функцией . Демодулятор состоит из двух фильтров, согласованных с  и , и их выходы в отсчётных точках равны  и .

Детектор основывает свое решение на правиле

Рис. Р5.15

Поскольку сигнальный ансамбль биортогонален, вероятность ошибки равна , где  определяется (5.2.34). Выразите эту вероятность ошибки через одномерный интеграл и затем покажите, что вероятность ошибки на символ для биортогонального сигнального ансамбля из  сигналов идентична той, которая определяет четырёхфазную ФМ. Подсказка: замена переменных  и  на  и  упрощает задачу.

5.15. На вход полосового фильтра поступает сигнал :

где  - прямоугольный импульс, показанный на рис. Р5.15 (а).

a) Определите выход  полосового фильтра для всех , если импульсная характеристика этого фильтра

где экспонента, показанная на рис. Р5.15 (b).

b) Нарисуйте выход эквивалентного низкочастотного фильтра.

c) В каких точках возьмёте отсчёты выхода фильтра, если желаете иметь максимальный выход в точках отсчёта? Чему равны величины максимальных отсчётов?

d) Предположите, что  суммируется с АБГШ

где . В точках отсчёта, определённых в п. (c), на отсчёты сигнала теперь накладываются шумовые гауссовские слагаемые.

e) Каково отношение сигнал/шум  по отсчётам выхода?

f) Определите отношение сигнал/шум, когда  - характеристика фильтра, согласованного с , и сравните эти результаты с величиной , полученной в (е).

5.16. Рассмотрите восьмиточечное сигнальное созвездие на рис. Р5.16.

Рис. Р5.16.

a) Ближайшие соседние точки в сигнальном созвездии 8-КАМ находятся на расстоянии  единиц. Определите радиусы a и b внутренней и внешней окружности.

b) Соседние сигнальные точки в созвездии 8-ФМ находятся на расстоянии  единиц. Определите радиус  окружности. Определите среднюю переданную мощность для двух сигнальных созвездий и сравните обе мощности.

Каков относительный выигрыш по мощности одного созвездия относительно другого? (Предположите, что все сигнальные точки равновероятны.)

5.17. Рассмотрите 8-точечное сигнальное созвездие КАМ, показанное на рис. Р.5.16.

a) Возможно ли сопоставить три бита данных каждой точке сигнального созвездия так, чтобы ближайшие (соседние) точки отличались бы только в одном битовом символе?

b) Определите скорость передачи символов, если желательная битовая скорость 90 Мбит/с.

5.18. Предположим, что двоичная ФМ используется для передачи информации по каналу с АБГШ со спектральной плотностью мощности . Энергия передаваемого сигнала , где  - битовый интервал,  - амплитуда сигнала. Определите амплитуду сигнала, требуемую для достижения вероятности ошибки 10, если скорость передачи данных равна а) 10 кбит/с; b) 100 кбит/с и с) 1 Мбит/с.

5.19. Рассмотрите детектор сигнала со входом , где  и  появляются с равной вероятностью, а шумовое слагаемое  характеризуется лапласовской ФПВ, показанной на рис. Р5.19.

Рис. Р5.19

a) Определите вероятность ошибки как функцию от параметров . И .

b) Определите ОСШ, требуемое для достижения вероятности ошибки . Каково требуемое ОСШ по сравнению с результатом для гауссовской ФПВ?

5.20. Рассмотрите два 8-точечных сигнальных созвездия КАМ, показанных на рис. Р5.20.

Рис. Р5.20

Минимальное расстояние между соседними точками равно . Определите среднюю передаваемую мощность для каждого созвездия, предполагая, что сигнальные точки равновероятны. Какое созвездие эффективнее по мощности?

5.21. Для сигнального созвездия КАМ, показанного на рис. Р5.21, определите оптимальные границы решения детектора, предполагая, что ОСШ достаточно велико, так что ошибочные переходы имеют место только между соседними точками.

5.22. Постройте код Грея для сигнального созвездия 16-КАМ, показанного на рис. Р5.21.

Рис. Р5.21

5.23. Квадратурные несущие  и  используются для передачи цифровой информации по каналу с АБГШ при двух различных скоростях передачи данных 10 кбит/с и 100 кбит/с. Определите относительные амплитуды сигналов для двух несущих так, чтобы для двух каналов были бы одинаковыми.

5.24. Три сообщения ,  и  нужно передавать по каналу с АБГШ со спектральной плотностью мощности . Сообщения определяются так:

a) Какова размерность пространства сигналов?

b) Найдите подходящий базис для пространства сигналов. (Подсказка: вы можете найти базис без использования процедуры Грама-Шмидга.)

с) Начертите сигнальное созвездие для этой задачи.

d) Рассчитайте и постройте оптимальные области решения  ,  и .

e) Какое из трех сообщений более уязвимо для помех и почему? Другими словами, чья условная вероятность  больше?

5.25. Если аддитивный шум на входе демодулятора окрашенный, фильтр, согласованный с сигналом, больше не максимизирует выходное ОСШ. В этом случае мы можем рассмотреть использование предварительного фильтра, который «обеляет» окрашенный шум. За этим предварительным фильтром следует фильтр, согласованный с профильтрованным полезным сигналом. С учетом сказанного рассмотрите схему, показанную на рис. Р5.25.

Рис. Р5.25

a) Определите частотную характеристику предварительного фильтра, который обеляет шум.

b) Определите частотную характеристику фильтра, согласованного с .

c) Рассмотрите каскадное соединение предварительного фильтра и согласованного фильтра как единый «обобщённый согласованный фильтр». Какова частотная характеристика этого фильтра?

d) Определите ОСШ на входе детектора.

5.26. Рассмотрите цифровую систему связи, которая передает информацию посредством КАМ через стандартный телефонный канал со скоростью 2400 симв./с. Аддитивный шум считается гауссовским и белым.

a) Определите , требуемое для достижения вероятности ошибки  при передаче 4800 бит/с.

b) Повторите (a) для скорости 9600 бит/с.

c) Повторите (a) для скорости 19200 бит/с.

d) Какие заключения вы сделаете из этих результатов?

5.27. Рассмотрите четырехфазное и восьмифазное сигнальные созвездия, показанные на рис. Р.5.27.

Рис. Р5.27

Определите радиусы  и  окружностей так, чтобы расстояние между ближайшими точками в двух созвездиях было равно . Исходя из этого результата, определите требуемую дополнительную энергию для 8-ФМ, чтобы достичь той же вероятности ошибки, как при 4-ФМ, причем вероятность ошибки определяется ошибками при выборе соседних точек созвездия.

5.28. Цифровая информация передается модуляцией несущей по каналу с АБГШ с полосой 100 кГц, а . Определите максимальную скорость передачи по каналу при четырехфазной ФМ, двоичной ФМ и четырехпозиционной ортогональной ЧМ с некогерентным детектированием.

5.29. В сигнале ММС начальное состояние фазы равно 0 или  радиан. Определите финальное состояние фазы для следующих четырех входных пар данных: а) 00; b) 01;с) 10; d) 11.

5.30. Сигнал ЧМ с непрерывной фазой с  представлен так

где знаки  зависят от передаваемых информационных битовых символов.

a) Убедитесь, что этот сигнал имеет постоянную амплитуду.

b) Нарисуйте блок-схему модулятора для синтеза сигнала.

c) Нарисуйте блок-схему демодулятора и детектора для извлечения информации.

5.31. Нарисуйте фазовое дерево, решётку состояний и диаграмму состояний для МНФ с парциальным откликом при  и

5.32. Определите число финальных состояний фазы на диаграмме решётки состояний для (a) двоичной ЧМНФ с полным откликом  или  и (b) двоичной ЧМНФ с парциальным откликом с  и  или .

5.33. Рассмотрите биортогоиальный ансамбль с  сигнальными точками. Определите объединённую верхнюю границу для вероятности ошибки на символ как функцию . Сигнальные точки считаются априори равновероятными.

5.34. Рассмотрите позиционную цифровую систему, где , а  - размерность пространства сигналов. Предположим, что точки  сигнальных векторов лежат на вершинах гиперкуба, который центрирован относительно начала координат. Определите среднюю вероятность ошибки на символ как функцию от , где  - энергия на символ,  - спектральная плотность мощности АБГШ, а все сигнальные точки равновероятны.

5.35. Рассмотрите сигнал

где  - прямоугольный импульс единичной амплитуды и длительности . Коэффициенты  можно рассматривать как кодовый вектор , где элементы . Покажите, что фильтр, согласованный с сигналом , можно реализовать как каскад из фильтра, согласованного с , и фильтра дискретного времени, согласованного с вектором . Определите величину выхода согласованного фильтра в точках отсчётов .

5.36. Речевой сигнал стробируется со скоростью 8 кГц, логарифмически сжимается и кодируется в ИКМ-формат с использованием 8 бит/отсчёт. Данные ИКМ передаются через базовый канал с АБГШ посредством уровневой AM. Определите полосу частот, требуемую для передачи, когда .

5.37. Матрица Адамара определяется как матрица, чьи элементы равны  и чьи вектор-строки попарно ортогональны. Для случая, когда  равно степени 2,  матрица Адамара конструируется посредством рекуррентной процедуры:

a) Пусть , означает -ю строку  матрицы Адамара, как она определена выше. Покажите, что сигналы, образованные так:

ортогональны, где  - произвольный импульс, определённый на временном интервале .

b) Покажите, что согласованные фильтры (или взаимные корреляторы) для  сигналов  могут быть реализованы посредством единственного фильтра (или коррелятора), согласованного с импульсом , за которым следуют  взаимных корреляторов, использующих кодовые слова .

5.38. Дискретная последовательность

представляет выходную последовательность отсчётов демодулятора, где  - элементы одного из двух возможных кодовых слов  и . Кодовое слово  имеет  элементов  и  элементов -1, где  - некоторое положительное целое число. Шумовая последовательность  является гауссовской и белой с дисперсией .

а) Каков детектор максимального правдоподобия для двух возможных передаваемых сигналов?

b) Определите вероятность ошибки как функцию параметров .

с) Какова величина , которая минимизирует вероятность ошибки?

5.39. Получите выходы  и  двух корреляторов, показанных на рис. 5.4.1. Считайте, что передаётся сигнал  и что

где  - аддитивный гауссовский шум.

5.40. Определите ковариации и дисперсии гауссовских случайных шумовых величин  в (5.4.15) и их совместную ФПВ.

5.41. Получите выходы согласованного фильтра, определенные (5.4.10).

5.42. В двоичной системе AM с пассивной паузой два возможных сигнала

Соответствующие принимаемые сигналы

где  - фаза несущей, а  - АБГШ.

a) Нарисуйте блок-схему приёмника (демодулятора и детектора), который реализует некогерентное (по огибающей) детектирование.

b) Определите ФПВ для двух участвующих в решении на выходе детектора величин, соответствующих двум возможным принятым сигналам.

c) Определите вероятность ошибки детектора.

5.43. В двухфазной ДФМ принимаемый сигнал на одном сигнальном интервале используется как опорный (эталонный) для принимаемого сигнала на следующем сигнальном интервале.

Решение принимается по величине

где

представляют комплексный выход фильтра, согласованного с переданным сигналом  - комплексные гауссовские величины с нулевым средним и статистически независимыми компонентами.

a) Написав , покажите, что  эквивалентно

b) Для математического удобства предположите, что .

Покажите, что случайные величины  - статистически независимые гауссовские величины, где .

c) Введите случайные величины  и . Тогда решающее правило детектора . Определите ФПВ для , .

d) Определите вероятность ошибки :

5.44. Напомним, что ММС можно представить как четырехфазную офсетную ФМ, имеющую низкочастотный эквивалент

где

а  и  - последовательности информационных символов .

a) Нарисуйте блок-схему демодулятора ММС для ОКФМ

b) Рассчитайте характеристики качества для четырехфазного демодулятора в канале с АБГШ, если не принимать во внимание память модулятора.

c) Сравните качество, полученное в (b), с тем, что дает декодирование по Витерби ММС сигнала.

d) ММС сигнал также эквивалентен двоичной ЧМ. Определите качество некогерентного детектирования ММС. Сравните результат с (b) и (c).

5.45. Рассмотрите линию связи, которая для передачи двоичной информации использует  регенеративных повторителей и оконечный приёмник. Предположите, что вероятность ошибки детектора в каждом приёмнике равна и что ошибки у повторителей статистически независимы.

a) Покажите, что вероятность ошибки у конечного приёмника равна

b) Если  и , определите, приближенное значение .

5.46. Двоичная система связи состоит из линии передачи и 100 цифровых (регенеративных) повторителей. Для передачи информации используются двоичные противоположные сигналы. Если сквозная величина вероятности ошибки для системы равна , определите вероятность ошибки для каждого повторителя и требуемое , чтобы достичь такое качество в канале с АБГШ.

5.47. Радиопередатчик имеет выходную мощность  на частоте 1 ГГц. Передающие и приёмные антенны - параболические тарелки с диаметром .

a) Определите усиление антенны.

b) Определите ЭМИ (эффективную мощность излучения) для передатчика.

c) Расстояние (в свободном пространстве) между передающей и приёмной антеннами равно 20 км. Определите мощность передатчика на выходе приёмной антенны в дБм.

5.48. Система радиосвязи передает уровень мощности 0,1 Вт на 1 ГГц. Передающая и приёмная антенны параболические, каждая с диаметром 1 м. Приёмник удален от передатчика на 30 км.

a) Определите усиление передающей и приёмной антенн.

b) Определите ЭМИ переданного сигнала.

c) Определите мощность сигнала на выходе приёмной антенны.

5.49. Спутник на геостационарной орбите используется для связи с земной станцией на расстоянии 40 000 км. Спутник имеет антенну с усилением 15 дБ и передаваемую мощность 3 Вт. Земная станция использует 10-метровую параболическую антенну с эффективностью 0,6. Полоса . Определите принимаемый уровень мощности на выходе приёмной антенны.

5.50. Расположенный на расстоянии 100 000 км от Земли космический аппарат дистанционного зондирования посылает данные со скоростью  бит/с. Полоса частот концентрируется у 2ддл, а мощность передатчика 10 Вт. Земная станция использует параболическую антенну с диаметром 50 м, а спутник имеет антенну с усилением 10 дБ. Шумовая температура приёмника .

a) Определите уровень принимаемой мощности.

b) При условии, что , определите максимальную битовую скорость, с которой космический аппарат может передавать данные.

5.51. Спутник на геостационарной орбите используется как регенеративный повторитель в цифровой системе связи. Рассмотрите линию спутник-Земля, в которой антенна спутника имеет усиление 6 дБ, а стационарная антенна Земли имеет усиление 50 дБ. Линия вниз работает на центральной частоте 4 ГГц, а полоса сигнала 1 МГц. Если требуемая величина  для реализации связи равна 15 дБ, определите переданную мощность от спутника. Считайте, что .