§ 123. Движение планетИзучение видимого движения планет на неизменном фоне звездного неба позволило дать полное кинематическое описание движения планет относительно инерциальной системы отсчета Солнце — звезды. Траектории планет оказались замкнутыми кривыми, получившими название орбит. Орбиты близки к окружностям с центром в Солнце, а движение планет по орбитам оказалось близким к равномерному. Исключение составляют только кометы и некоторые астероиды, расстояние от которых до Солнца и скорость движения которых меняются в широких пределах, а орбиты сильно вытянуты. Расстояния от планет до Солнца (радиусы орбит) и времена обращения этих планет вокруг Солнца весьма различны (табл. 2). Обозначения первых шести планет, приведенные в таблице, сохранились еще со времен астрологов. Таблица 2. Сведения о планетах
В действительности орбиты планет не вполне круговые, а их скорости не вполне постоянны. Точное описание движений всех планет было дано немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571—1630) — в его время были известны только первые шесть планет — в виде трех законов (рис. 199). 1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты (вектор, проведенный от Солнца к планете) в равные времена описывает равные площади. 3. Квадраты времен обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Из этих законов можно сделать ряд выводов о силах, под действием которых движутся планеты. Рассмотрим вначале движение какой-либо одной планеты. Ближайший к Солнцу (
Рис. 199. Если из точки Рис. 200. К определению отношения скоростей планеты в перигелии и афелии Рассмотрим малые пути
Так как в перигелии и афелии тангенциальные ускорения равны нулю, то Расчет показывает, что и во всех других точках траектории ускорение направлено к Солнцу и изменяется по тому же закону, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния планеты от Солнца; поэтому для любой точки орбиты
где Для выяснения зависимости ускорения планеты от расстояния ее до Солнца мы воспользовались первыми двумя законами Кеплера. Эту зависимость удалось найти потому, что планеты движутся по эллипсам, изменяя свое расстояние от Солнца. Если бы планеты двигались по окружностям, расстояние от планеты до Солнца и ее ускорение не менялись бы, и мы не смогли бы найти эту зависимость. Рис. 201. При движении планеты от перигелия к афелию сила притяжения уменьшает скорость планеты, при движении от афелия к перигелию – увеличивает скорость планеты Но при сравнении между собой ускорений различных планет можно удовлетвориться приближенным описанием движения планет, считая, что они движутся равномерно по окружностям. Обозначим радиусы орбит двух каких-нибудь планет через
а центростремительные ускорения, согласно (27.1),— формулами.
Так как движение по окружности мы считаем равномерным, то
Но, согласно третьему закону Кеплера,
Подставляя отношение квадратов времен обращения в формулу (123.4), найдем
Этот вывод можно переписать в таком виде: для любой планеты, находящейся на расстоянии
где
|