Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 125. Искусственные спутники Земли

На тело, выведенное за пределы земной атмосферы, действуют, как и на всякое небесное тело, только силы тяготения со стороны Земли, Солнца и других небесных тел. В зависимости от начальной скорости, сообщенной телу при его взлете с поверхности Земли, дальнейшая судьба тела может быть различной: при малой начальной скорости тело падает обратно на Землю; при большей скорости тело может превратиться в искусственный спутник и начать вращаться вокруг Земли, подобно ее естественному спутнику — Луне; при еще большей скорости тело может уйти от Земли так далеко, что сила земного притяжения практически не будет влиять на его движение и оно обратится в искусственную планету, т. е. начнет вращаться вокруг Солнца; наконец, при еще большей скорости тело может навсегда уйти из Солнечной системы в мировое пространство.

Мы рассмотрим только случай, когда тело превращается в искусственный спутник Земли. Изучая его движение относительно Земли, будем учитывать только силу притяжения его Землей. Мы увидим, что тело может стать спутником Земли только в том случае, если его скорость лежит в сравнительно узких пределах: от 7,91 до 11,19 км/с. При скорости, меньшей 7,91 км/с, тело упадет обратно на Землю; при скорости, большей 11,19 км/с, тело уйдет от Земли безвозвратно.

Для запуска искусственных спутников применяют специальные ракеты, поднимающие спутник на заданную высоту и разгоняющие его до требуемой скорости; после этого спутник отделяется от ракеты-носителя и продолжает свое движение под действием только сил тяготения. Двигатели ракет должны, совершить работу против сил тяжести и против сил сопротивления воздуха, а также сообщить спутнику большую скорость. Для этого двигатели ракеты должны развивать огромную мощность (миллионы киловатт).

Если расстояние от спутника до поверхности Земли меняется незначительно по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу притяжения спутника Землей можно (для грубых расчетов) считать постоянной по модулю, как это мы делали в § 113 при изучении полета тела, брошенного под углом к горизонту. Но направление силы тяжести уже нельзя будет считать постоянным, как для коротких траекторий пуль и снарядов; теперь мы должны учитывать, что сила тяжести направлена в любой точке по радиусу к центру Земли.

Мы рассмотрим только движение искусственных спутников по круговым орбитам. Сила притяжения Земли создает центростремительное ускорение спутника, равное , где  — радиус орбиты, а  — неизвестная пока скорость спутника. Предположим, что орбита проходит вблизи поверхности Земли, так что  практически равен радиусу Земли . Тогда, если пренебречь сопротивлением атмосферы, спутник будет двигаться с ускорением , направленным к центру Земли. Следовательно,

,                                                                            (125.1)

  — радиус Земли. Отсюда находим, что скорость  спутника, описывающего круговую орбиту вблизи поверхности Земли, должна быть равна

.                                                                             (125.2)

Подставив  и , найдем

.

Эту скорость называют первой космической скоростью. Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за .

Спутник, вращающийся вокруг Земли вблизи земной поверхности, имеет ускорение , направленное к центру Земли, т. е. такое же ускорение свободного падения, как и тело, свободно летящее по параболической траектории или падающее по вертикали вблизи земной поверхности. Значит, движение спутника есть просто свободное падение, подобное движению пуль и снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли: падение (т. е. движение с ускорением , направленным к центру Земли) сводится к огибанию земного шара.

Рис. 203. Рисунок из трудов Ньютона: траектории тела, бросаемого с вершины высокой горы с различными горизонтальными скоростями. Еще Ньютон понимал, что для запуска тела на орбиту вокруг Земли тело должно иметь достаточно большую скорость.  — пункты, в которых оканчиваются траектории при увеличении скорости

Из формулы (125.1) ясно, что если скорость тела будет меньше первой космической, то сила тяжести заставит его двигаться по траектории с радиусом кривизны, меньшим радиуса Земли . Значит, при такой скорости тело упадет на 3емлю. При большей скорости радиус кривизны траектории будет больше  и тело опишет эллиптическую траекторию (рис. 203).

В действительности спутник не может быть запущен по орбите радиуса  из-за огромного сопротивления воздуха вблизи поверхности Земли. Найдем, какова должна быть скорость  движения по круговой орбите любого радиуса , большего . Для этого воспользуемся формулой, аналогичной (125.2), учитывая, что ускорение свободного падения убывает при удалении от центра Земли в отношении, обратном отношению квадратов расстояний от центра. Ускорение  на расстоянии  от центра Земли найдем по формуле . Скорость  движения спутника по круговой орбите радиуса  получается из равенства

,

откуда

                                        (125.3)

Таким образом, по мере увеличения радиуса орбиты скорость искусственного спутника уменьшается.

Это не означает, однако, что для запуска спутника на орбиту большего радиуса двигатели ракеты должны совершить меньшую работу. Уменьшается только доля работы, необходимая для сообщения спутнику кинетической энергии. Но при этом спутник надо поднять на большую высоту над Землей; значит, потребуется совершить большую работу против силы земного притяжения, т. е. сообщить спутнику большую потенциальную энергию. В итоге оказывается, что по мере увеличения радиуса орбиты суммарная работа, необходимая для запуска спутника, растет.

В самом деле, рассчитаем, как меняется в зависимости от радиуса орбиты работа, необходимая на подъем спутника с земной поверхности до орбиты и на сообщение ему скорости, необходимой для движения по орбите. Согласно формуле (125.3) кинетическая энергия спутника массы , движущегося по орбите радиуса , равна

,

где  — первая космическая скорость. Подставив вместо  ее значение, определяемое формулой (125.2), выражению для кинетической энергии можно придать вид

.                                                                          (125.4)

Рассмотрим полет спутника массы  по орбите радиуса  и по орбите радиуса , где  — положительное приращение радиуса , много меньшее самого радиуса . Согласно (125.4) кинетическая энергия спутника при полете по этим орбитам равна соответственно

.

где  — приращение кинетической энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Это приращение равно

.         (125.5)

В соответствии с тем, что при переходе с первой орбиты на вторую скорость спутника уменьшается,  получилось отрицательным.

С другой стороны, работа против силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую равна силе тяжести, действующей на спутник, умноженной на . Так как  мало, изменением силы тяжести при переходе можно пренебречь и считать ее равной . Следовательно, работа против силы тяжести при переходе с первой орбиты на вторую

.

Эта работа затрачивается на приращение потенциальной энергии спутника при переходе с первой орбиты на вторую. Таким образом,

.                                                                              (125.6)

Сравнение выражений (125.5) и (125.6) показывает, что приращение потенциальной энергии в два раза превышает убыль кинетической энергии спутника:

.                                                                                    (125.7)

Представим переход спутника с орбиты радиуса  на орбиту радиуса , сильно отличающегося от  как ряд последовательных переходов, при каждом из которых радиус орбиты увеличивается на малую величину . При каждом таком переходе выполняется соотношение (125.7). Следовательно, это соотношение имеет место и при переходе с орбиты радиуса  на орбиту радиуса :

(см. формулу (125.4)). Полученное равенство будет выполняться, если положить  на расстоянии  от центра Земли равной

,                                                                 (125.8)

где  — произвольная константа. Напомним, что потенциальная энергия всегда бывает определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой зависит от выбора положения тела, в котором его потенциальная энергия принимается равной нулю.

Проще всего считать константу  равной нулю. Тогда

.                                                                        (125.9)

В этом случае  при . На любом конечном расстоянии от центра Земли потенциальная энергия отрицательна. Выражению (125.9) можно придать другой вид, заменив, согласно (124.3),  на :

.                                                          (125.10)

Мы получили выражение (125.8) для спутника, движущегося по орбите радиуса . Однако оно не содержит скорости и, следовательно, справедливо для любого тела массы  независимо от того, движется это тело или покоится.

Если принять  равной нулю, когда тело находится на поверхности Земли (т. е. ), то , и выражение для потенциальной энергии примет вид

.

Пусть , где  — очень малая по сравнению с  величина. Тогда выражение (125.11) упрощается следующим  образом:

.

Мы пришли к известному выражению для потенциальной энергии тела, поднятого над Землей на высоту .

Напомним, что потенциальная энергия определяет работу, которая совершается силами тяготения над телом при переходе его из положения с энергией  в положение, в котором потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, выражение (125.11) определяет работу, которую совершают силы тяготения при переходе из точки, находящейся на расстоянии  от центра Земли, в точку на поверхности Земли. Из формулы (125.11) следует, что при перемещении тела массы  из бесконечности на поверхность Земли силы тяготения совершают над телом работу, равную . Соответственно работа, которую нужно совершить против сил тяготения, чтобы удалить тело с поверхности Земли на бесконечность, также равна . Эта работа конечна, несмотря на то, что путь, на котором она совершается, бесконечно велик. Это объясняется тем, что силы тяготения быстро убывают с увеличением расстояния от Земли — обратно пропорционально квадрату расстояния.

С помощью выражений для кинетической и потенциальной энергий можно определить работу, которую нужно совершить, чтобы вывести спутник массы  на орбиту радиуса . Перед запуском полная энергия спутника (кинетическая плюс потенциальная) равна нулю. Двигаясь по орбите, спутник обладает кинетической энергией, определяемой выражением (125.4), и потенциальной энергией, определяемой выражением (125.11). Интересующая нас работа  равна полной энергии спутника, движущегося по орбите:

                           (125.12)

Это выражение не учитывает работу, которую нужно совершить при запуске спутника против сил сопротивления атмосферы. Из (125.12) видно, что с увеличением радиуса орбиты  растет работа, которую нужно затратить для выведения спутника на орбиту.

Положив в формуле (125.12) , найдем работу , необходимую для того, чтобы тело, начав двигаться с поверхности Земли, удалилось на бесконечно большое расстояние:

.                                                                            (125.13)

Эта работа идет на приращение потенциальной энергии тела. Действительно, согласно (125.11) приращение  в случае, когда  изменяется от  до бесконечности, равно

.

Работа (125.13) совершается за счет запаса кинетической энергии, которая сообщается спутнику при запуске. Минимальная скорость , с которой должен быть запущен спутник, чтобы он удалился на бесконечность, определяется условием

.

откуда

.                                                   (125.14)

Эту скорость называют второй космической скоростью. Сравнение с (125.2) показывает, что вторая космическая скорость в  раз больше первой:

.

При запуске тела со скоростью, большей второй космической скорости, оно также не возвратится на Землю, но в этом случае по мере удаления тела от Земли его скорость не будет стремиться  к нулю.

125.1. С какой скоростью нужно подбросить тело вертикально вверх, чтобы оно достигло высоты над поверхностью Земли, равной радиусу Земли? При расчете пренебречь сопротивлением воздуха, но учесть изменение силы тяжести.

125.2. На каком расстоянии от центра Земли период обращения искусственного спутника будет равен 24 часам, так что спутник сможет занимать относительно вращающейся Земли неизменное положение («синхронные спутники»)?

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>