§ 150. Закон Паскаля

Сначала найдем распределение давления внутри жидкости для случая, когда жидкость сжата только поверхностными силами. Вес жидкости можно не учитывать, если обусловленное им давление мало по сравнению с давлением, вызванным поверхностными силами. На искусственных спутниках, в условиях невесомости, жидкость действительно будет сжата только поверхностными силами. Мы покажем, что при действии только поверхностных сил давление во всех точках жидкости одинаково.

Поместим жидкость в произвольной формы замкнутый сосуд, к которому присоединен цилиндр с поршнем (рис. 225). Вдвигая поршень в цилиндр, создадим внутри жидкости давление, обусловленное поверхностными силами. Опыт показывает, что если в различных местах в сосуде поместить манометры, то их показания окажутся практически одинаковыми.

Рис. 225. К выводу закона Паскаля

Можно и теоретически показать, что в рассматриваемом случае давления в любых двух точках, например в точках  и , должны быть равны между собой. Для этого мысленно выделим внутри жидкости тонкий цилиндр, осью которого служит линия  и основания которого, имеющие площадь , перпендикулярны к линии . Выделенный объем составляет часть покоящейся жидкости, и, следовательно, сам находится в покое, хотя на его поверхность действуют силы давления. Другие силы на цилиндр не действуют (силой тяжести мы пренебрегли). Для равновесия необходимо, чтобы сумма проекций всех сил давления на любое направление равнялась нулю (§ 74). Рассмотрим сумму проекций сил давления на ось .

Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси , и, следовательно, их проекции на ось равны нулю. Остаются лишь силы, действующие на основания цилиндра. Они равны соответственно  и  где  и  — давления в точках  и . Так как эти силы перпендикулярны к основаниям, то они направлены вдоль , и притом в противоположные стороны. Поскольку цилиндр находится в равновесии, эти силы должны уравновешивать друг друга, т. е. должно быть ; отсюда

,

т. е. давления в точках  и  равны между собой.

Это рассуждение можно повторить для любых двух точек внутри жидкости. Если какие-нибудь две точки нельзя соединить прямой, не задевая стенок сосуда, как, например, точки  и , то доказательство ведется последовательно для ряда промежуточных точек (например, точек  и ): доказываем, что  затем, что  затем, что . Отсюда следует доказываемое равенство .

Итак, при действии лишь поверхностных сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Этот закон был установлен французским физиком и математиком Блэзом Паскалем (1623 — 1662) и носит его имя.

Рассматривая цилиндры, одно из оснований которых лежит на стенке сосуда (например, цилиндр ), убедимся, что давление на стенки равно давлению внутри жидкости. Это же давление будет и на поверхности поршня. Таким образом, если давление поршня на поверхность жидкости равно, то это же давление  будет существовать в каждой точке внутри жидкости и на стенках сосуда. Поэтому иногда формулируют закон Паскаля следующим образом: давление, создаваемое поверхностными силами, передается без изменения в каждую точку жидкости.

В этой формулировке закон Паскаля остается верным и для общего случая, т. е. для случая, когда мы учитываем и силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости определенное давление (вообще говоря, различное в различных точках), то приложенные поверхностные силы увеличивают давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину.