§ 243. Скорости молекул газа

Каковы скорости, с которыми движутся молекулы, в частности молекулы газов? Этот вопрос естественно возник тотчас же, как были развиты представления о молекулах. Долгое время скорости молекул удавалось оценить только косвенными расчетами, и лишь затем были разработаны способы прямого определения скоростей газовых молекул.

Прежде всего уточним, что надо понимать под скоростью молекул. Напомним, что вследствие частых столкновений скорость каждой отдельной молекулы все время меняется: молекула движется то быстро, то медленно, и в течение некоторого времени (например, одной секунды) скорость молекулы принимает множество самых различных значений. С другой стороны, в какой-либо момент в громадном числе молекул, составляющих рассматриваемый объем газа, имеются молекулы с самыми различными скоростями. Очевидно, для характеристики состояния газа надо говорить о некоторой средней скорости. Можно считать, что это есть среднее значение скорости одной из молекул за достаточно длительный промежуток времени или что это есть среднее значение скоростей всех молекул газа в данном объеме в какой-нибудь момент времени.

Приведем рассуждения, которые дают возможность вычислить среднюю скорость газовых молекул.

В § 221 мы показали, что давление газа пропорционально , где  — масса молекулы,  — средняя скорость, а  — число молекул в единице объема. Точный расчет приводит  к формуле

.                                                                     (243.1)

Рассмотрим газ, заключенный в сосуде, имеющем форму куба с ребром  (рис. 389). Если газ находится в равновесии, все направления движения молекул являются равновероятными, так что молекулы ударяются о стенку сосуда, двигаясь под различными углами (от  до ) к нормали к стенке. Для упрощения будем считать, что молекулы движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, совпадающих с ребрами куба, причем вдоль каждого из них летит 1/3 всех молекул газа. На рис. 389 изображена одна из молекул, летящих вдоль нормали к заштрихованной грани куба. Число таких молекул равно , где  — число молекул в единице объема.

Рис. 389. Молекула, летящая вдоль нормали к заштрихованной грани куба

Пренебрегая соударениями молекул друг с другом, можно считать, что рассматриваемая молекула летит со средней скоростью , отражаясь поочередно от противолежащих граней. За время между двумя последовательными ударами о заштрихованную грань молекула пролетает путь, равный . Следовательно, она ударяется о заштрихованную стенку  раз за единицу времени. Всего стенка испытает

ударов за единицу времени. Разделив это выражение на , получим число ударов , которое испытывает единица площади стенки за единицу времени. Таким образом

.                                           (243.2)

Подставив это значение  в формулу (221.1), найдем давление газа на стенку:

.

Мы пришли к формуле (243.1).

Из формулы (243.1) можно вывести ряд важных следствий. Перепишем эту формулу в виде

,

где  — средняя кинетическая энергия одной молекулы. Пусть давления газа при температурах  и  равны  и , а средние кинетические энергии молекул при этих температурах равны  и . В таком случае

.

Сравнивая это соотношение с законом Шарля , найдем

.

Итак, термодинамическая температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа. Напомним, что о связи температуры газа со средней кинетической энергией его молекул мы уже говорили в § 216. Так как средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна квадрату средней скорости молекул, то наше сопоставление приводит к выводу, что термодинамическая температура газа пропорциональна квадрату средней скорости молекул газа и что скорость молекул растет пропорционально корню квадратному из термодинамической температуры.

Теперь возьмем два разных газа при одинаковых температурах и давлениях. Согласно закону Авогадро (§ 241) число молекул в единице объема одинаково. В таком случае мы можем написать

,

где индексы 1 и 2 относятся к первому и второму газам; отсюда

,

т. е. при данной температуре средние скорости молекул обратно пропорциональны корням квадратным из масс молекул. Например, в смеси кислорода и водорода средняя скорость молекул кислорода в четыре раза меньше средней скорости молекул водорода.

Наконец, обратим внимание на то, что произведение  есть масса молекул газа, находящихся в единице объема, т. е. произведение  есть плотность газа . Поэтому из формулы (243.1) следует, что

.                                                     (243.4)

Эта формула дает возможность вычислить среднюю скорость газовых молекул, если известны давление и плотность газа. Результаты вычислений средних скоростей молекул некоторых газов при  приведены в табл. 8.

Таблица 8. Средняя скорость молекул некоторых газов

Газ	Масса молекулы,	Средняя скорость, м/с
Водород	0,33	1760
Кислород	5,3	425
Азот	4,6	450
Углекислый газ	7,3	360
Пары воды	3,0	570

Как видно из таблицы, средние скорости молекул весьма значительны. При комнатной температуре они обычно достигают сотен метров в секунду. В газе средняя скорость движения молекул примерно в полтора раза больше, чем скорость звука в этом же газе.

На первый взгляд этот результат кажется очень странным. Представляется, что молекулы не могут двигаться с такими большими скоростями: ведь диффузия даже в газах, а тем более в жидкостях, идет медленно, во всяком случае гораздо медленнее, чем распространяется звук. Дело, однако, в том, что, двигаясь, молекулы очень часто сталкиваются друг с другом и при этом меняют направление своего движения. Вследствие этого они двигаются то в одном направлении, то в другом, в основном «толкутся» на одном месте (рис. 369). В результате, несмотря на большую скорость движения в промежутках между столкновениями, они продвигаются в каком-либо определенном направлении довольно медленно.

Табл. 8 показывает, что различие в скоростях разных молекул связано с различием их масс. Это обстоятельство подтверждается рядом наблюдений. Например, водород проникает сквозь узкие отверстия (поры) с большей скоростью, чем кислород или азот, что можно обнаружить на таком опыте (рас. 390). Стеклянная воронка закрыта пористым сосудом или бумагой и опущена концом в воду. Если воронку накрыть стаканом, под который впустить водород (или светильный газ), то уровень воды в конце воронки понизится и из нее начнут выходить пузырьки. Как это объяснить?

Рис. 390. Когда пространство под стаканом  наполнено водородом, то из конца воронки, закрытой пористым сосудом , выходят пузырьки

Сквозь узкие поры в сосуде или в бумаге могут проходить и молекулы воздуха (из воронки в стакан), и молекулы водорода (из стакана в воронку). Но быстрота этих процессов различна. Различие в размерах молекул не играет при этом существенной роли, ибо различие это невелико, особенно по сравнению с размерами пор: молекула водорода имеет «длину» (§ 214) около, а молекула кислорода или азота — около , сечение же пор в тысячи раз больше. Скорость же молекул водорода примерно в 4 раза больше скорости молекул воздуха. Поэтому молекулы водорода быстрее проникают из стакана в воронку. В результате в воронке получается избыток молекул, давление увеличивается и смесь газов в виде пузырьков выходит наружу.

Подобными приборами пользуются для обнаружения примеси рудничных газов в воздухе, могущих вызвать взрыв в рудниках.

243.1. Если в только что описанном опыте снять с воронки стакан, наполненный водородом, то вода начнет втягиваться внутрь воронки. Объясните явление.

243.2.Пользуясь табл. 7, вычислите, средние скорости молекул гелия и углекислого газа при .

243.3.Пользуясь табл. 8, вычислите средние скорости молекул водорода при  и молекул азота при .