§ 255. Значение кривизны свободной поверхности жидкости.

Мы постоянно встречаемся с кривыми поверхностями жидкостей: кривой является поверхность повисшей капли (рис. 372); поверхность воды, облекающей намокшие волосы (рис. 402); поверхность любой капельки жидкости, любого пузырька в ней и т. д.

Какое же значение имеет кривизна поверхности? Легко сообразить, что силы, связанные с наличием поверхностного натяжения и направленные по касательной к поверхности жидкости, в случае выпуклой поверхности дают результирующую, направленную внутрь жидкости (рис. 417, а). В случае вогнутой поверхности результирующая сила направлена, наоборот, в сторону газа, граничащего с жидкостью (рис. 417, б). На основании этих упрощенных рассуждений можно ожидать, что давление жидкости, ограниченной выпуклой поверхностью, больше давления окружающего газа (или другой жидкости, граничащей с первой), а давление жидкости, ограниченной вогнутой поверхностью, наоборот, меньше давления окружающего газа. Чтобы проверить это предположение, обратимся к опытам.

Рис. 417. Силы поверхностного натяжения  действующие на искривленную поверхность жидкости, дают результирующую , направленную в ту же сторону, куда поверхность  обращена своей вогнутостью. а) Поверхность жидкости выпуклая: б) Поверхность жидкости вогнутая

1. На рис. 418 показана узкая стеклянная трубка , соединенная резиновой трубкой с широкой трубкой . В трубках находится вода. Установим конец трубки  на уровне жидкости в трубке . При этом поверхность воды в трубке  горизонтальная и совершенно плоская (рис. 418, а). Будем теперь осторожно опускать трубку . Конец трубки , до которого доходит вода, станет ниже уровня воды в трубке , и вместе с тем поверхность воды в ней примет выпуклую сферическую форму (рис.418, б). Подумаем, что это значит. Над выпуклой сферической поверхностью воды в трубке  и над плоской поверхностью воды в трубке  одно и то же атмосферное давление. На уровне конца трубки  в трубке  (рис. 418, б) давление больше атмосферного. Так как жидкость находится в равновесии, то, следовательно, и у конца трубки  непосредственно под выпуклой поверхностью давление больше атмосферного. Добавочное давление под выпуклой поверхностью жидкости вызывается молекулярными силами. Стремление жидкости уменьшить свою свободную поверхность приводит к тому, что жидкость, находящаяся под сферической поверхностью, оказывается несколько сжатой, а потому имеющей добавочное давление.

Рис. 417. а) Поверхности воды в трубках  и  находятся на одном уровне; обе поверхности плоские. б) Поверхность воды в  выше, чем в ; поверхность в  — плоская, в  — выпуклая

Будем продолжать опыт, опуская трубку  еще ниже. При этом радиус сферической поверхности воды еще уменьшится, а разность уровней в трубках еще увеличится. Отсюда вывод: добавочное давление под выпуклой поверхностью жидкости тем больше, чем радиус этой поверхности меньше.

2. На рис. 419, а показан прибор для выдувания пузырьков из узкого конца  трубки, опущенного в жидкость на небольшую глубину. Нажимая на резиновую грушу , мы создаем внутри трубки повышенное давление, регистрируемое жидкостным манометром . По мере увеличения давления в трубке радиус выдуваемого пузырька все уменьшается (рис. 419, б — г). Если, продолжая нажимать на грушу , дойдем до такого положения, что радиус пузырька начнет увеличиваться (рис. 419, д), манометр покажет уменьшение давления.

Рис. 419. а) Прибор для выдувания пузырьков в жидкости, б)—г) В начале выдувания пузырька радиус кривой поверхности жидкости постепенно уменьшается, д) Под конец выдувания радиус поверхности снова увеличивается

Очевидно, этот опыт показывает то же, что и предыдущий, т. е. что изогнутость поверхности жидкости связана с добавочным давлением по ту сторону поверхности, куда она обращена своей вогнутостью, и что добавочное давление тем больше, чем меньше радиус кривизны поверхности.

Если окунуть конец трубки  не в воду, а в другую жидкость, например в спирт, то манометр покажет иное максимальное давление. В случае спирта максимальное давление будет приблизительно в 3,5 раза меньше, чем в случае воды. Вспомним,  что поверхностное натяжение спирта меньше поверхностного натяжения воды тоже в 3,5 раза. Этот результат показывает, что разность давлений тем больше, чем больше поверхностное натяжение.

Расчет приводит к следующему выводу: при наличии сферической поверхности жидкости радиуса  имеется разность давлений

,                                  (255.1)

где  — давление со стороны вогнутости, а  — давление со стороны выпуклости (рис. 420). Ясно, что эта формула согласуется с результатами опытов, изображенных на рис. 418 и 419.

Рис. 420. Две среды граничат по сферической поверхности радиуса , обращенной вогнутостью влево. При равновесии давление среды слева от границы больше, чем давление среды справа от границы, на величину

Приведем вывод формулы (255.1). Рассмотрим пузырек воздуха радиуса  в жидкости с поверхностным натяжением  (или каплю жидкости того же радиуса , рис. 420);  — давление воздуха в пузырьке,  — давление жидкости вокруг пузырька. Пусть по какой-либо причине радиус пузырька увеличился на малую по сравнению с радиусом  величину . При этом будет произведена работа , равная произведению разности сил давления  на перемещение :

С другой стороны, площадь поверхности увеличится на

.

Так как мы предположили, что  очень мало по сравнению с , то можно принять увеличение площади поверхности равным . При этом поверхностная энергия получит приращение . Приравнивая работу  и приращение энергии , получим

, откуда .

Как видно, добавочное давление зависит от радиуса сферической поверхности. При малых радиусах оно может достигать больших значений; например, добавочное давление внутри пузырька радиуса  в воде равно . В случае сферических поверхностей с большими радиусами (например, ) добавочное давление пренебрежимо мало . Добавочное давление равно нулю в случае плоской поверхности, которую можно рассматривать как предел сферической поверхности при бесконечном увеличении ее радиуса.

255.1. Если на двух сообщающихся трубках с раструбами на концах выдуть мыльные пузыри (рис. 421) и закрыть трубку, то воздух из пузыря меньшего диаметра переходит в пузырь большего диаметра: меньший пузырь уменьшается, а больший увеличивается. Объясните явление.

255.2.Когда воздух быстрее вытекает из воронки, на которой выдут мыльный пузырь: при большом диаметре пузыря или при малом?

255.3.Если поместить каплю воды между двумя стеклянными пластинками (рис. 422), то для отделения пластинок друг от друга потребуется некоторая сила. Эта сила тем больше, чем больше площадь, занимаемая каплей, и чем меньше расстояние между пластинками. Объясните явление.

255.4. Если в узкой стеклянной трубке с переменным сечением расположились капельки воды и пузырьки воздуха, как показано на рис. 423, то продуть такую трубку очень трудно. Объясните явление. Подобная закупорка тонких трубок с переменным сечением является в технике вредным явлением, с которым приходится бороться. По этой же причине является крайне вредным выделение газовых пузырьков в кровеносных сосудах людей и животных, так как это полностью прекращает ток крови по этим сосудам.

255.5. Накапайте из пузырька в пробирку 50 капель чистой воды. В другую пробирку такого же размера накапайте из того же пузырька столько же капель воды с небольшой примесью мыла или эфира (можно с примесью эфирно-валерьяновых капель). Сравните объем жидкостей в пробирках. Чем объяснить разницу в размерах капель?

Рис. 421. К упражнению 255.1

Рис. 422. К упражнению 255.3

Рис. 423. К упражнению 255.4