§ 44. Второй закон Ньютона.

Производя опыты с действием сил на тела, мы установили пропорциональность между модулем силы , действующей на тело, и модулем ускорения , которое эта сила сообщает телу, а также ввели новую величину — массу тела .

Опыты показали также, что направление ускорения совпадает с направлением силы, вызвавшей ускорение (§ 42), т. е. что векторы  и  совпадают по направлению. Следовательно, формулу (43.1) можно написать в векторном виде:

.                             (44.1)

Напомним, что здесь  — равнодействующая всех сил, действующих на тело,  — его масса и  — ускорение, получаемое телом под действием силы . Эта формула выражает основной закон движения, известный под названием второго закона Ньютона (первый закон — закон инерции, § 31). Второй закон Ньютона можно сформулировать так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на создаваемое этой силой ускорение, причем направления силы и ускорения совпадают.

Формулу (44.1) можно записать еще и в таком виде:

                            (44.2)

и закон Ньютона можно выразить в несколько иной форме: ускорение, сообщаемое телу, прямо пропорционально действующей на тело силе, обратно пропорционально массе тела и направлено так же, как сила. В частности, отсюда следует, что при действии равными силами на, разные тела они получают ускорения, обратно пропорциональные своим массам; и обратно, если разные тела получают ускорения, обратно пропорциональные своим массам, то это значит, что силы, действующие на эти тела, равны по модулю.

Если сила постоянного направления стала действовать на тело, находящееся в покое, или если сила, действующая на движущееся тело, направлена вдоль скорости тела (например, тело, падающее без начальной скорости; тело, подброшенное вертикально вверх), то тело будет двигаться прямолинейно. Для этого случая закон Ньютона можно написать в скалярной форме:

 или

При этом под действием постоянной силы тело неизменной массы будет двигаться с постоянным ускорением, т. е. равноускоренно. Если же сила меняется с течением времени, то меняется и ускорение. В этом случае формула (44.2) дает значение мгновенного ускорения (§ 27), вызываемого силой, действующей в данный момент. Если сила остается постоянной, а меняется масса тела, к которому приложена сила, то ускорение также оказывается переменным. Примером тела переменной массы может служить ракета, выбрасывающая во время полета продукты сгорания топлива, в результате чего ее масса уменьшается. Если при этом сила, действующая на ракету, не меняется, то ускорение ее растет (§ 188). Если сила направлена под углом к скорости тела, то оно движется криволинейно (например, тело, брошенное горизонтально). Криволинейное движение будем изучать в гл. V.

Во втором законе Ньютона заключен, как частный случай, первый закон, или закон инерции. Действительно, из формулы (44.2) видно, что если , то и , т. е. если на тело не действуют силы (или силы действуют, но их равнодействующая равна нулю), то и ускорение равно нулю, и значит, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Примеры проявления второго закона Ньютона встречаются на каждом шагу. Электровоз разгоняет поезд с тем меньшим ускорением, чем больше масса поезда. Отталкивая с одинаковой силой от берега пустую и тяжело нагруженную лодку, заставим первую из них двигаться с большим ускорением, чем вторую. Если тело лежит на твердой опоре, то, прилагая к нему малую силу, мы не сдвинем его с места, так как при этом возникнет сила трения об опору (§ 64), которая уравновесит приложенную силу: результирующая окажется равной нулю. Но если тело плавает на воде, то возникающая сила трения о воду в начале движения очень мала, поэтому она не уравновесит приложенную силу и равнодействующая не будет равна нулю: тело начнет двигаться.

Рис. 67. При одинаковой силе, действующей на плавающий брусок, скорость увеличивается: а) медленно у большого бруска, б) быстрее у малого бруска

Как бы ни была мала результирующая сила, действующая на тело, ускорение возникнет; но оно мажет быть настолько мало, что потребуется много времени, чтобы вызвать заметное изменение скорости. Так, надавливая на массивный деревянный брусок, плавающий в воде, гибким стеклянным прутом (рис. 67), увидим, что брусок приобретет заметную скорость только через 1—2 минуты. В то же время бруску гораздо меньшей массы можно сообщить при помощи того же прута гораздо большее ускорение. На пристанях можно наблюдать, как рабочий изо всей силы упираясь багром в борт большой баржи, тратит несколько минут на сообщение ей еле заметной скорости.

В формуле второго закона Ньютона  — это ускорение тела в его движении относительно Земли. Но, как мы знаем (§ 33), ускорение тела будет таким же, если рассматривать движение тела относительно любой другой инерциальной системы. Силы же, действующие на тело, представляют собой действия на данное тело других тел и не зависят от того, по отношению к какой системе отсчета мы определяем ускорение данного тела. Не зависит от выбора системы отсчета и масса тела. Поэтому закон Ньютона остается справедливым и при рассмотрении движения относительно любой другой инерциальной системы, например, относительно корабля, равномерно движущегося прямым курсом по спокойному морю, или относительно поезда, идущего с постоянной скоростью по прямому участку, и т. п. Более подробно об этом вопросе будет сказано в гл. VI.

44.1. Используя второй закон Ньютона, объясните, почему • падение на мерзлую землю опаснее, чем на рыхлый снег, и почему, прыгнув с высоты нескольких этажей на натянутый брезент, можно остаться невредимым?

Закон Ньютона был открыт при изучении движений, происходящих в обычных условиях на Земле, и при изучении движений небесных тел. И в тех и в других случаях скорости тел малы по сравнению со скоростью света (300 000 км/с). Со скоростями, приближающимися к скорости света, физики встретились только при изучении движения элементарных частиц, например электронов и протонов в ускорителях — устройствах, в которых на элементарные частицы действуют разгоняющие их электромагнитные силы. Для таких скоростей второй закон Ньютона неверен. Согласно закону Ньютона, при действии постоянной силы, направленной вдоль траектории частицы, частица должна была бы иметь постоянное ускорение, т. е. ее скорость должна была бы равномерно расти. Однако оказалось, что хотя в начале разгона второй закон Ньютона выполняется и частица движется равноускоренно, но, по мере того как достигнутая частицей скорость приближается к скорости света, ускорение делается все меньше и меньше, т. е. закон Ньютона нарушается.

При продолжающемся действии ускорителя скорость частицы растет все медленнее, приближаясь к скорости света, но никогда ее не достигая. Например, при скорости тела, равной 0,995 скорости света, ускорение, получаемое телом при силе, действующей в направлении движения тела, составит всего 0,001 ускорения, рассчитанного по формуле закона Ньютона. Даже при скорости, равной всего одной десятой скорости света, уменьшение ускорения сравнительно с рассчитанным по закону Ньютона составит 1,5%. Но для «малых» скоростей, встречающихся в обыденной жизни, и даже для скоростей космических тел поправка так мала, что ею можно пренебрегать. Например, для Земли, вращающейся вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, уменьшение ускорения составит всего миллионную долю процента.

Итак, второй закон Ньютона можно применять только по отношению к телам, скорость которых мала по сравнению со скоростью света.