§ 74. Проекции сил. Общие условия равновесия.

Силу, как и всякий другой вектор, можно проектировать на любую ось (§ 24). В § 41 было показано, что при сложении по правилу треугольника сил, находящихся в равновесии, получается замкнутая ломаная линия. На рис. 106 показано построение такой линии для случая трех сил. Возьмем произвольную ось  и найдем проекции сил на эту ось.

Рис. 105. К упражнению 73.1

По определению проекция вектора на ось равна разности координаты, определяющей проекцию на ось конца отрезка, изображающего вектор, и координаты, определяющей проекцию начала этого отрезка. Следовательно,

где  — проекция вектора  и т. д. Сумма этих выражений равна нулю:

              (74.1)

Полученный нами результат не зависит от выбора оси  и, очевидно, справедлив для любого числа слагаемых. Таким образом, мы приходим к общему условию равновесия: тело может находиться в равновесии, если сумма проекций всех приложенных к нему сил на любое направление равна нулю.

Рис. 106. Сложение по правилу треугольника сил, находящихся в равновесии

При использовании этого условия нужно учитывать все силы, действующие на тело, в том числе и силы, действующие со стороны опор, подвесов и т. д.

При решении задач часто бывает полезно разлагать силы на составляющие (§ 24). Особенно удобно разлагать силы на составляющие по взаимно перпендикулярным направлениям. В этом случае составляющие силы образуют стороны прямоугольника, диагональю которого является разлагаемая сила (рис. 107).

Рис. 107. Разложение силы по двум взаимно перпендикулярным направлениям

 

Рис. 108. Нахождение условий равновесия тела на наклонной плоскости

Поясним сказанное следующим примером: рассмотрим условия равновесия тела массы , лежащего на плоскости, образующей с горизонтом угол  (наклонная плоскость, рис. 108). Предположим, что трения нет; тогда предоставленное самому себе тело скользило бы по плоскости вниз. Чтобы удержать тело, нужно приложить к нему еще какую-то силу, например привязать к нему нить, перекинутую через блок так, чтобы нить шла параллельно наклонной плоскости, и подвесить к концу нити груз массы . Тогда тело будет находиться под действием трех сил: силы тяжести , силы натяжения нити  и упругой силы , действующей со стороны плоскости, слегка прогибающейся под тяжестью тела. Сила  направлена перпендикулярно к плоскости и ограничивает движение тела, позволяя ему перемещаться только по плоскости (силы, ограничивающие движение тел, называются силами реакции, § 75).

Для нахождения условий равновесия разложим силу  на две составляющие: , направленную параллельно наклонной плоскости, и , направленную перпендикулярно к плоскости. Из рисунка видно, что модуль составляющей  равен , а модуль составляющей  равен . Для равновесия необходимо, чтобы сила натяжения нити  была равна по модулю составляющей , а сила реакции  была равна по модулю составляющей . Последнее условие всегда соблюдается само собой: плоскость прогибается до тех пор, пока силы  и  не сделаются равными по модулю. Равенство же модулей сил  и  возможно только при определенном соотношении между массами и, зависящем от угла . Поскольку модуль силы  равен , это соотношение имеет вид , откуда

Последнее равенство выражает условие равновесия тела, лежащего на наклонной плоскости. Легко убедиться в том, что при выполнении этого условия сумма проекций всех сил на любое направление равна нулю.

74.1. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол 30° (рис. 109). На ней лежит тело массы М=2 кг. Нить, перекинутая через блок, составляет с плоскостью угол 45°. При какой массе  подвешенного к нити груза эти тела будут в равновесии? Найдите силу нормального давления тела на плоскость. Трением пренебречь.

Рис. 109. К упражнению 74.1

Рис. 110. К упражнению 74.2

74.2. К мачте прикреплена горизонтальная антенна, сила натяжения которой равна 400 Н (рис. 110). Под каким углом  к горизонту должна быть расположена оттяжка с другой стороны мачты, чтобы мачта не гнулась и чтобы сила нормального давления на основание мачты составляла 600 Н?