§ 80. Сложение параллельных сил. Центр тяжести.

Изучая равновесие сил или определяя равнодействующую сил, мы не рассматривали пока случай, когда силы, действующие на тело, параллельны. Теперь, найдя условия равновесия тела, закрепленного на оси, мы можем рассмотреть и этот случай.

Рассмотрим силы, действующие на рычаг, нагруженный грузами, уравновешивающими друг друга, и подвешенный к неподвижной стойке при помощи динамометра (рис. 122). Можно считать, что ось вращения рычага проходит через точку его подвеса. На рычаг действуют вес  и вес  подвешенных к нему грузов и сила натяжения пружины динамометра . Будем полагать, что масса самого рычага - настолько мала по сравнению с массами грузов, что ею можно пренебречь. Тогда можно считать, что рычаг находится в равновесии под действием сил  и . Сила  есть уравновешивающая сила для параллельных сил  и . Так как при равновесии пружина динамометра располагается вертикально, то сила  параллельна  и .

Рис. 122. Исследование равновесия тела при действии трех параллельных сил

Далее, сила  равна по модулю сумме модулей сил  и . Поскольку мы пренебрегли массой рычага, то . Расстояния  от точки подвеса рычага (его оси вращения ) до точек приложения сил  и  найдем из условия равновесия рычага:

, или .                                           (80.1)

Это означает, что точка приложения уравновешивающей силы делит расстояние между точками приложения сил в отношении, обратном отношению сил. Следовательно, незакрепленное тело находится в равновесии под действием трех параллельных сил в том случае, когда третья сила, направленная в сторону, противоположную первым двум, по модулю равна сумме их модулей и приложена к точке, делящей расстояние между точками их приложения в отношении, обратном отношению первых двух сил.

Значит, равнодействующая двух параллельных одинаково направленных сил равна сумме этих сил, направлена в ту же сторону и приложена в точке, делящей расстояние между точками приложения сил в отношении, обратном отношению сил.

Легко найти закон сложения и для двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Любую из трех сил , действующих на тело, находящееся в равновесии, можно рассматривать как уравновешивающую две другие силы; значит, сила  является уравновешивающей для противоположно направленных параллельных сил  и . Отсюда, как и раньше, заключаем, что сила, равная и направленная противоположно силе , является равнодействующей сил  и . Но , кроме того, из пропорции (80.1) следует производная пропорция:

, или .

Таким образом, равнодействующая двух параллельных противоположно направленных сил равна по модулю разности модулей этих сил, направлена в сторону большей силы и приложена в точке, делящей расстояние между точками приложения сил в отношении, обратном отношению сил.

Рис. 123. Точка приложения равнодействующей сил тяжести есть центр тяжести

Если на тело действует несколько параллельных сил, то для нахождения общей равнодействующей надо сначала найти равнодействующую каких-либо двух из этих сил, затем полученную равнодействующую сложить с третьей силой и т. д. В частности, силы тяжести действуют на каждый элемент тела и все эти силы параллельны. Поэтому для нахождения равнодействующей этих сил, т. е. силы тяжести, действующей на все тело, надо последовательно сложить  целый ряд параллельных сил. Равнодействующая этих сил равна их сумме, т. е. представляет полную силу притяжения, которую испытывает все тело со стороны Земли, и приложена к определенной точке тела. Точку приложения этой равнодействующей сил тяжести называют центром тяжести тела (рис. 123). Таким образом, действие притяжения Земли на твердое тело таково, как если бы точка приложения силы тяжести лежала в центре тяжести тела. Мы будем пользоваться этим в дальнейшем, заменяя действие сил тяжести, приложенных к отдельным частям твердого тела, действием одной силы, приложенной в его центре тяжести и равной силе тяжести, действующей на все тело. Часто приходится решать задачу, обратную сложению параллельных сил: разложить заданную силу на параллельные ей составляющие силы. Такова, например, задача о распределении сил на опоры балки с грузом или на плечи людей, несущих на шесте груз (рис. 124). Искомые силы  и , определяются из условия, что их равнодействующая равна весу груза , и должна быть приложена там, где висит груз. Поэтому

.

Рис. 124. Разложение силы на две параллельные составляющие