§ 90. Работа силы, направленной под любым углом к перемещению

Мы определили работу силы в двух специальных случаях: когда перемещение точки приложения силы совпадает по направлению с силой и когда оно перпендикулярно к силе. В первом случае работа равна произведению силы на перемещение, во втором — равна нулю. Теперь найдем выражение для работы при произвольной взаимной ориентации силы и перемещения. Для простоты будем считать, что сила  постоянна (постоянство  означает постоянство как модуля силы, так и ее направления), а точка приложения силы движется прямолинейно (рис. 158).

Рис. 158. Разложение силы  на составляющие  и

Разложим силу  на две составляющие: , направленную вдоль перемещения , и , перпендикулярную к перемещению . Пусть угол  между векторами и  острый (рис. 158, а). Тогда сила  совпадает по направлению с перемещением и ее работа, согласно формуле (88.1), равна . Сила  перпендикулярна к перемещению и поэтому работы не совершает. Считая работу равнодействующей силы равной сумме работ составляющих сил, получим, что работа силы  на перемещении  равна . Если угол  острый, то  равняется проекции силы  на направление . Обозначив эту проекцию через , можно написать,  что

.                                                                                   (90.1)

Мы пришли, к выводу, что работа равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на модуль перемещения точки приложения силы.

Если , то проекция  (§ 24). Следовательно, выражение (90.1) можно представить в виде

                                                                          (90.2)

Произведение  равно проекции перемещения на направление силы. Обозначив эту проекцию через , получим еще одно выражение для работы:

,                                                                     (90.3)

согласно которому работа равна проекции перемещения точки приложения силы на направление силы, умноженной на модуль силы.

До сих пор мы считали, что угол  острый. Однако определение работы, выражаемое формулой (90.2), распространяется и на случай тупых углов (, рис. 158, б). В этом случае  и работа получается отрицательной (проекция , силы  на направление перемещения  отрицательна и равна ). Следовательно, выражение (90.2) определяет работу при любых значениях угла  в пределах от 0 до . (То же относится к формулам (90.1) и (90.3).)

Таким образом, работа является алгебраической величиной: если угол  между направлениями силы и перемещения острый, работа положительна; если этот угол тупой, работа отрицательна. В частном случае, когда , работа ; если , то ; при  работа равна нулю.