§ 200. Закон Эйнштейна

В предыдущем параграфе мы установили связь между кинетической энергией тела и его массой: если телу сообщается кинетическая энергия , то его масса возрастает на величину . Эта связь носит общий характер: она относится к любым телам — большим и малым, заряженным и незаряженным и т. д. В то же время кинетическая энергия является только одним из многих видов энергии. Другие известные нам формы энергии — это внутренняя энергия тел, электрическая энергия, энергия световых квантов и т. д.

Как мы знаем, все виды энергии могут переходить друг в друга. Встает вопрос: нет ли между всеми видами энергии и массой тела такой же связи, как в случае кинетической энергии?

Для одного случая мы сразу можем дать утвердительный ответ. Предположим, что мы нагреваем одноатомный газ. В случае одноатомных газов увеличение внутренней энергии при нагревании сводится к увеличению кинетической энергии его частиц. Но с увеличением кинетической энергии частиц растет, как мы видели, их масса. Следовательно, при нагревании возрастает и масса всего газа. Так как в целом тело (газ) остается неподвижным, покоящимся, то отсюда следует, что при нагревании возрастает масса покоя тела. Таким образом, некоторая (крайне малая — см. упражнение 13 в конце главы) часть массы покоя газа связана с кинетической энергией теплового движения его молекул, которая является одним из видов внутренней энергии.

Теория относительности широко обобщает этот вывод и доказывает, что вся масса покоя тела пропорциональна его внутренней энергии. Коэффициент пропорциональности между массой покоя и внутренней энергией тела тот же, что и между добавочной массой тела  и кинетической энергией , т. е. . Следовательно,

, или ,                              (200.1)

где  — внутренняя энергия тела, называемая также энергией покоя;  — масса покоя тела.

Используя соотношение (199.1), мы можем теперь написать:

здесь  — масса тела, а  — полная энергия тела, равная сумме внутренней энергии (энергия покоя) и кинетической энергии .

Мы пришли к закону Эйнштейна; масса тела пропорциональна его полной анергии или обратно: полная энергия тела пропорциональна его массе. Таким образом, закон Эйнштейна выражается формулой

, или .                                         (200.2)

Найдем с помощью закона Эйнштейна энергию покоя (внутреннюю энергию), которой обладает  вещества:

Эта энергия чудовищно велика: для получения такой энергии необходимо сжечь 2 миллиона килограммов наиболее теплотворного топлива — нефти!

Во всех обычных процессах (химические реакции, механическое движение тел и т. д.) энергия, переходящая от одного тела (или системы тел) к другому телу (или системе тел), ничтожно мала по сравнению с энергией покоя участвующих тел. Она не превышает миллиардных долей энергии покоя. Ввиду этого при обычных процессах полная энергия каждого из участвующих тел изменяется не более чем на миллиардные доли своей величины. Масса тел, пропорциональная полной энергии, остается поэтому при таких процессах практически (с очень большой точностью) неизменной. В этом состоит закон сохранения массы, открытый Ломоносовым и Лавуазье еще задолго до создания теории относительности.

В последние десятилетия физика и техника столкнулись с явлениями, в которых выделение энергии настолько велико, что составляет уже заметную долю энергии покоя взаимодействующих тел (пример: атомная энергия). В этих явлениях изменения массы тел, сопровождающие превращения энергии, также велики и поддаются точному измерению. Путем таких измерений была доказана, как мы увидим в §§ 223, 225, справедливость закона Эйнштейна. В изучении этого круга процессов, идущих с большим энерговыделением, закон Эйнштейна оказывается очень полезным. С его помощью трудная задача измерения содержания энергии в теле заменяется гораздо более простой задачей точного измерения массы. Воспользовавшись (199.2), можно переписать закон Эйнштейна в несколько другом виде:

                                            (200.3)

Установим теперь связь между полной энергией тела, его массой покоя и импульсом. Из (199.4) и (200.3) найдем отношение скорости тела к скорости света:  или . Подставив это выражение для  в формулу (200.3) для полной энергии, окончательно получим очень важное соотношение релятивистской механики

                              (200.4)

Закон Эйнштейна справедлив для любых объектов — не только для тел или частиц, но и, например, для электрических и магнитных полей. Согласно этому закону электромагнитные поля обладают массой. Рассмотрим для примера световые кванты — сгустки электромагнитного волнового поля. Каждый квант света частоты  обладает энергией , где  — постоянная Планка. Согласно (200.2) квант  имеет массу . Этот результат подтвержден опытами.

Световые кванты обладают важной особенностью; масса покоя светового кванта равна нулю. В этом легко убедиться, используя формулу зависимости массы от скорости (199.2). Согласно этой формуле масса покоя . Световые кванты движутся со скоростью света, т. е. для них , , следовательно, .