§ 206. Атом водорода. Своеобразие законов движения электрона в атоме

Существование дискретных энергетических уровней является фундаментальным свойством атомов (так же как и молекул, и атомных ядер).

Попробуем применить известные нам законы физики, чтобы представить себе устройство атома, объясняющее дискретность его энергетических уровней.

Рассмотрим простейший из атомов — атом водорода. Порядковый номер водорода в периодической системе элементов равен единице, следовательно, водородный атом состоит из положительного ядра, заряд которого равен , и одного электрона. Между ядром и электроном действует сила притяжения зарядов. Наличие этой силы обеспечивает радиальное (центростремительное) ускорение, благодаря чему легкий электрон вращается вокруг тяжелого ядра по круговой или эллиптической орбите точно так же, как планета вращается вокруг Солнца под влиянием силы тяготения. Различным возможным состояниям атома соответствует, таким образом, различие в размерах (и форме) орбиты электрона, вращающегося вокруг ядра.

Энергия электрона в атоме слагается из кинетической энергии движения по орбите и потенциальной энергии в электрическом поле ядра. Можно показать (см. в конце параграфа), что энергия электрона на круговой орбите, а следовательно, и энергия атома в целом зависят от радиуса орбиты: меньшему радиусу орбиты соответствует меньшая энергия атома. Но, как мы видели в § 204, энергия атома может принимать не любые, а только определенные избранные значения. Так как энергия определяется радиусом орбиты, то каждому энергетическому уровню атома отвечает орбита определенного избранного радиуса.

Картина возможных круговых орбит электрона в атоме водорода изображена на рис. 367. Основному энергетическому уровню атома соответствует орбита наименьшего радиуса.

Рис. 367. Возможные орбиты электрона в атоме водорода: радиус орбит возрастает пропорционально , т.е. в отношении и т.д.

Нормально электрон находится на этой орбите. При сообщении достаточно большой порции энергии электрон переходит на другой энергетический уровень, т. е. «перескакивает» на одну из внешних орбит. Как указывалось, в таком возбужденном состоянии атом неустойчив. Через некоторое время электрон переходит на более низкий уровень, т. е. «перескакивает» на орбиту меньшего радиуса. Переход электрона с дальней орбиты на ближнюю сопровождается испусканием светового кванта.

Итак, из ядерной модели атома и дискретности его энергетических уровней вытекает существование избранных, «разрешенных», орбит электрона в атоме. Встает вопрос, почему электрон не может вращаться вокруг ядра по орбите произвольного радиуса. В чем физическое различие дозволенных и недозволенных орбит?

Законы механики и электричества, знакомые нам из предыдущих разделов учебника (см. тома I, II), не дают на эти вопросы никакого ответа. С точки зрения этих законов все орбиты совершенно равноправны. Существование выделенных орбит противоречит этим законам.

Не менее разительным противоречием известным нам законам физики является устойчивость атома (в основном состоянии). Мы знаем, что всякий заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Электромагнитное излучение уносите собой энергию. В атоме электрон движется с большой скоростью по орбите малого радиуса и, следовательно, обладает огромным центростремительным ускорением. Согласно известным нам законам электрон должен терять энергию, излучая ее в виде электромагнитных волн. Но, как было указано выше, если электрон теряет энергию, радиус его орбиты уменьшается. Следовательно, электрон не может вращаться по орбите постоянного радиуса. Расчеты показывают, что в результате уменьшения радиуса орбиты из-за излучения электрон должен был бы упасть на ядро за стомиллионную долю секунды. Этот вывод резко противоречит нашему ежедневному опыту, который свидетельствует об устойчивости атомов.

Итак, существует противоречие между данными о строении атома, полученными из эксперимента, и между основными законами механики и электричества, также найденными на опыте.

Но не следует забывать, что упомянутые законы найдены и проверены в экспериментах с телами, содержащими очень большое количество электронов, большое количество атомов. Мы не имеем основания считать, что эти законы применимы к движению отдельного электрона в атоме. Более того, расхождение между поведением электрона в атоме и законами классической физики указывает на неприменимость этих законов к атомным явлениям (см. также § 210).

Выше мы изложили так называемую планетарную модель атома, т.е. представление об электронах, вращающихся по разрешенным орбитам вокруг атомного ядра. При обосновании планетарной модели мы пользовались законами классической физики. Но, как уже отмечалось и как мы увидим подробнее в § 210, движение электрона в атоме относится к области явлений, в которой классическая механика неприменима. Неудивительно поэтому, что более глубокое изучение «микромира» показало неполноту, грубую приближенность планетарной модели; действительная картина атома сложнее. Все же эта модель отражает правильно многие основные свойства атома, и поэтому, несмотря на приближенность, ею иногда пользуются.

Рассмотрим зависимость энергии атома водорода от радиуса электронной орбиты. Кинетическую энергию движения электрона по орбите радиуса мы определим из того условия, чту центростремительное ускорение обеспечивается силой кулонного притяжения зарядов (в системе СИ ). Приравнивая ускорение создаваемое этой силой, центростремительному ускорению , найдем, что кинетическая энергии электрона обратно пропорциональна радиусу орбиты, т.е. .

Выделим две орбиты радиуса и . Кинетическая энергия вращения электрона на второй орбите больше, чем на первой на величину .

Если орбиты недалеко отстоят одна от другой, то и . Поэтому в знаменателе можно пренебречь величиной , и разница кинетических энергий будет приближенно равна .

Потенциальная энергия электрона, напротив, больше на первой, далекой орбите, ибо для удаления электрона от ряда нужно совершить работу против сил электрического притяжения, действующих между электроном и ядром; эта работа идет на увеличение потенциальной энергии.

Пусть электрон переводится с ближней орбиты на дальнюю по радиальному пути. Длина пути равна . Электрическая сила вдоль этого пути непостоянна по модулю. Но так как орбиты близки одна к другой , можно для приближенного вычисления работы использовать значение силы на среднем расстоянии электрона от ядра, равном . По закону Кулона сила есть , а работа на пути , равная приросту потенциальной энергии, будет равна .

Таким образом, при переходе электрона с дальней орбиты на ближнюю уменьшение его потенциальной энергии равно удвоенному приросту кинетической энергии. Мы доказали эту теорему для близких орбит, расстояние между которыми удовлетворяет условию . Суммируя изменения энергии электрона при переходах между последовательными парами близких орбит, убеждаемся, что теорема справедлива и для сколь угодно удаленных орбит.

Рассмотрим теперь бесконечно далекую орбиту, т. е. . Потенциальную энергию электрона на ней примем за начало отсчета потенциальной энергии, т. е. положим . Кинетическая энергия обращается при в нуль; при переходе с орбиты на конечную орбиту радиуса она возрастет на величину . Потенциальная энергия уменьшится на вдвое большую величину , т. е.

.(206.1)

Полная энергия электрона равна, следовательно, ; она тем меньше (знак минус!), чем меньше радиус орбиты.