§ 32. Учение о колебаниях

Мы начали изучение колебаний с механических колебаний. Мы убедились далее, что в основе звуковых явлений, т. е. явлений, воспринимаемых ухом, тоже лежат механические колебания, отличающиеся от колебаний маятника лишь более высокими частотами. Затем мы рассмотрели электрические колебания. На протяжении всего изложения мы старались подчеркнуть глубокое сходство между закономерностями всех этих явлений.

Почему такие, казалось бы, разнородные явления были объединены в нашем изложении?

Все эти главы были посвящены учению о колебаниях, которое объединяет явления не по признаку одинаковой физической их природы, а по общим законам, которым подчиняются эти явления. Например, законы, которым подчиняются свободные и вынужденные колебания, резонансные явления, автоколебания,— одни и те же, идет ли речь о механике или об электричестве.

Существование таких одинаковых законов, управляющих самыми, казалось бы, разнородными явлениями, взятыми из совершенно различных областей физики, играет чрезвычайно большую роль в изучении природы. Оно открывает возможность путем изучения явлений в одной области физики, например в механике, лучше понять явления из совсем другой области, скажем из оптики. В одних случаях это облегчает исследование, в других — наталкивает на открытие новых явлений. Учение о колебаниях широко пользуется всеми преимуществами, которые дает такой метод исследования, там, где он оказывается приложимым. Приведем один пример.

Многие замечали, что обыкновенные качели можно раскачать без всякого толчка извне. Для этого нужно, чтобы стоящие на доске поочередно приседали и поднимались (рис. 59).  Каждый партнер приседает один раз за период колебаний качелей, а так как они делают это по очереди, то получается, что центр тяжести маятника – качелей – дважды за период опускается и поднимается. Этот способ возбуждения колебаний принципиально отличается от рассмотренных  ранее:  колебательная система (в данном случае качели) раскачивается со своей собственной частотой в результате того, что с удвоенной частотой меняется величина, от которой зависит период системы (в данном случае расстояние от точки подвеса до центра тяжести). Колебания возникают и поддерживаются за счет работы, которая затрачивается  на изменение периода системы.

Рис. 59. Раскачивание качелей

Рис. 60. Опыт с параметрической раскачкой математического маятника

Описанный способ возбуждения колебаний нетрудно осуществить и на обычном маятнике — шарике, подвешенном на нити. Нить надо пропустить, через неподвижное проволочное колечко и, взявшись за ее конец рукой, периодически укорачивать и удлинять маятник (рис. 60). Если изменение длины маятника выполнять так. Чтобы укорачивание происходило, когда маятник проходит через вертикальное положение (или около него), т.е.  два раза за период, а удлинение – также дважды за период в положениях отклонения (или около них), то маятник начнет раскачиваться, т.е. амплитуда колебаний будет возрастать. Это значит, что возрастает и энергия колеблющегося маятника.

Откуда черпает маятник эту энергию?

В данном случае, очевидно, за счет работы мускулов. Действительно, укорачивая маятник на длину  в момент прохождения его через вертикальное положение, мы поднимаем грузик массы на высоту . Если учитывать только работу против силы инерции. То мы сообщаем при этом маятнику энергию . Удлинение же маятника происходит, когда он отклонен на максимальный угол . При этом грузик опустится на расстояние  и, значит, маятник отдаст энергию  (рис. 61). Разность между полученной и отданной энергией, равная , и есть та энергия, которая передается маятнику за каждый полупериод и обусловливает увеличение его амплитуды, т.е. раскачку. Заметим, что чем больше максимальный угол  (чем он ближе к ), тем больше энергия, получаемая маятником за полупериод, т.е. тем быстрее идет раскачка.

Таков же механизм, действующий при раскачивании качелей: энергия качелей растет за счет работы, совершаемой качающимися партнерами, когда они выпрямляются (поднимают свой центр тяжести) при прохождении через вертикаль и приседают при отклонении качелей. Так как воздействие состоит в изменении длины маятника, т.е. параметра, от которого зависит период системы, то такое воздействие называется параметрическим. Мы видим, что параметрическое воздействие раскачивает систему. если частота воздействия вдвое больше собственной (средней) частоты системы.

Рис. 61. К вычислению работы, затрачиваемой на раскачку маятника за половину периода его колебаний

Рис. 62. Переменный конденсатор (1), подвижная часть которого вращается электродвигателем (2). Емкость конденсатора меняется с частотой , где  - частота вращения электродвигателя

Перейдем теперь в совсем другую область – область электрических  колебаний. Электрический колебательный контур подчинен тем же колебательным законам, что и маятник. Следовательно, если мы создадим в контуре такие же условия, благодаря которым раскачиваются качели, то в контуре должны будут возникнуть электрические колебания. Очевидно, нужно периодически менять в контуре величину, от которой зависит его период, т.е. менять емкость или индуктивность, и это нужно делать с частотой, вдвое превышающей собственную частоту контура. Опыт полностью подтверждает эти соображения. В контуре возбуждаются электрические колебания.

На таком способе возбуждения электрических колебаний основаны так называемые параметрические генераторы переменного тока, изобретенные советскими физиками Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Такой генератор представляет собой колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности  и конденсатора, емкость  которого периодически меняется при вращении его подвижной части (рис.62).

Параметрические генераторы можно сделать с постоянной емкостью и с переменной индуктивностью, что оказывается технически удобнее. Для токов повышенной частоты (несколько сотен или тысяч герц) они обладают рядом преимуществ по сравнению с обычными генераторами.

Этот пример до некоторой степени поясняет, какую пользу может принести объединение явлений по общим законам, и дает представление о научной ценности учения, предметом которого являются эти общие законы колебаний.

В развитии учения о колебаниях отечественным ученым принадлежит выдающееся место. Работы нашего замечательного инженера Ивана Алексеевича Вышнеградского (1831— 1895) по автоматическому регулированию хода паровых машин, работы основоположника русской авиации Николая Егоровича Жуковского (1847—1921) по теории полета самолета, труды выдающегося математика Александра Михайловича Ляпунова (1857—1918) по вопросам устойчивости колебательных движений, исследования основателя сейсмологии Бориса Борисовича Голицына (1862—1916), труды замечательного математика и инженера Алексея Николаевича Крылова (1863—1945) по теории качки корабля на волнах — все эти классические исследования имеют огромное значение не только для тех специальных областей, к которым они непосредственно относятся, но и для общего учения о колебаниях. Роль советских ученых еще более значительна, так как они являются основателями современного учения о колебаниях, охватывающего и теорию автоколебаний, и параметрическое возбуждение колебаний, и теорию автоматического регулирования хода машин-двигателей и т. д. Особенно много здесь сделано советскими физиками Леонидом Исааковичем Мандельштамом (1879— 1944), Николаем Дмитриевичем Папалекси  (1880—1947), Александром Александровичем Андроновым (1901 —1952) и их учениками, а также нашими крупными математиками Николаем Митрофановичем Крыловым (1879—1955) и Николаем Николаевичем Боголюбовым (р. 1909).

В заключение подчеркнем еще раз, что звуковые и электромагнитные колебания, а также волны, к рассмотрению которых мы переходим со следующей главы, разумеется, физически разнородны. То, что колеблется, в обоих случаях совершенно различно. Сходными или одинаковыми являются закономерности этих колебательных процессов, т. е. то, как происходят колебания.