§ 5. Гармоническое колебание. Частота

Прикрепим к равномерно вращающемуся диску шарик на стержне и осветим его сбоку (рис. 7). При вращении диска тень шарика будет колебаться на стене. Нетрудно построить графическое изображение этих колебаний. На рис. 8 отмечены и занумерованы 16 последовательных положений шарика, взятых через каждую 1/16 полного оборота.

Рис. 7. Теневая проекция шарика, движущегося по окружности

Теми же цифрами от 1 до 16 занумерованы положения тени на стене ; эти точки получены путем опускания на прямую  перпендикуляров из точек окружности. Именно так проецируется тень на стену, если шарик освещать пучком параллельных лучей. Для того чтобы развернуть колебания проекции шарика подобно тому, как это делает зеркальный барабан, построим ряд равноотстоящих друг от друга прямых, параллельных АВ. Последовательные положения проекции (тени)  мы будем теперь наносить не на одной и той же прямой, а на следующих друг за другом, как это показано в правой части рис. 8. Проведя через отмеченные таким способом точки непрерывную кривую, мы находим волнистую линию, указывающую последовательные положения тени шарика, т. е. график движения. Таким образом, мы получаем «осциллограмму»  колебаний проекции шарика.

Рис. 8. Построение развертки гармонического колебания

Колебание, какое совершает при равномерном движении точки по окружности проекция этой точки на какую-либо прямую, называется гармоническим (или простым) колебанием.

Гармоническое колебание является специальным, частным видом периодического колебания. Этот специальный вид колебания очень важен, так как он чрезвычайно часто встречается в самых различных колебательных системах. Колебание груза на пружине, камертона, маятника, зажатой металлической пластинки как раз и является по своей форме гармоническим. Следует заметить, что при больших амплитудах колебания указанных систем имеют несколько более сложную форму, но они тем ближе к гармоническому, чем меньше амплитуда колебаний.

Колебание, весьма близкое к гармоническому, можно осуществить при помощи механизма, показанного на рис. 9. При равномерном вращении ручки точка  натянутой нити периодически ходит вверх и вниз. Если длина  участка нити до отверстия велика по сравнению с прогибом вала , то движение точки  будет очень близко к гармоническому колебанию. Мы воспользуемся этим простым устройством в дальнейшем.

Рис. 9. Механизм для получения гармонического движения

Заметим, что в определении гармонического колебания речь идет о параллельной проекции, т. е. положения точки, движущейся по окружности, сносятся на прямую  (рис. 8) посредством параллельных между собой перпендикуляров к .

Рис. 10. Построение синусоиды

Если на горизонтальной оси откладывать центральный угол  (рис. 10), а на вертикальной — перпендикуляр , опущенный из конца вращающегося радиуса  на неподвижный диаметр  (угол  отсчитывается от неподвижного радиуса ), то получится кривая, называемая синусоидой. Для каждой абсциссы  ордината этой кривой ' пропорциональна синусу угла , так как

Сравнивая это построение с только что описанным построением развертки гармонического колебания, нетрудно усмотреть их полное тождество. Таким образом, «волнистая кривая», изображающая гармоническое колебание, есть синусоида. Поэтому очень часто гармоническое, или простое, колебание называют также синусоидальным колебанием.

Число циклов гармонического колебания, совершаемых за 1, называется частотой этого колебания. Если период маятника равен 1 (секундный маятник), то за 1 совершается один цикл и частота равна единице. Единицу частоты называют герцем (сокращенно ) — в честь немецкого физика Генриха Герца (1857—1894), получившего электрические колебания, о которых мы будем говорить ниже. Как обычно, приставки кило и мега обозначают в тысячу и в миллион раз более крупные единицы:

Если период равен 5, то частота будет . Вообще, обозначая продолжительность периода, выраженную в секундах, через , а частоту, выраженную в герцах, через , будем иметь

.

Таким образом, для гармонического колебания период  определяет собой и частоту . Однако следует помнить, что такая связь между частотой и периодом характеризует только гармоническое (синусоидальное) колебание. У периодического колебания иной формы, негармонического, нет одной определенной частоты, хотя оно и имеет определенный период . Мы увидим далее, что это значит (§ 17), Поэтому, когда мы говорим о колебании с определенной частотой, то при этом всегда понимается гармоническое колебание, а не периодическое движение произвольной формы.

В природе и в технике приходится встречаться с механическими колебаниями, частоты которых чрезвычайно различны. Например, маятник, который подвешен для демонстрации опыта Фуко под куполом Исаакиевского собора в Ленинграде, имеет период  около 20, т. е. частоту ; частота колебаний железнодорожного вагона на его рессорах составляет около ; камертоны могут колебаться с частотами от десятков герц до нескольких килогерц. Физики умеют получать так называемые ультразвуковые колебания (о них мы еще будем говорить ниже) с частотами, доходящими до нескольких десятков мегагерц. Колебания атомов внутри молекул происходят с частотами в миллионы мегагерц. Таким образом, диапазон частот механических колебаний очень широк.

Говоря в перечисленных примерах колебаний о частоте, мы тем самым утверждаем, что эти колебания гармонические.