§ 71. Законы освещенности

Как показывают формулы (70.1) и (70.2), величины  и  связаны между собой.

Пусть точечный источник  освещает небольшую площадку , расположенную на расстоянии  от источника (рис. 157).

Рис. 157. Освещенность площадки , перпендикулярной к оси светового потока, определяется силой света и расстоянием  от точечного источника  до площадки

Построим телесный угол , вершина которого лежит в точке  и который опирается на края площадки . Он равен . Поток, посылаемый источником в этот телесный угол, обозначим через . Тогда сила света , освещенность. Отсюда

,                                (71.1)

т. е. освещенность площадки равна силе света, деленной на квадрат расстояния до точечного источника. Сравнивая освещенности площадок, расположенных на разных расстояниях  от точечного источника, найдем  и т. д., или

,                     (71.2)

т. е. освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от площадки до точечного источника. Это так называемый закон обратных квадратов.

Если бы площадка  была расположена не перпендикулярно к оси потока, а повернута на угол , то она имела бы размеры  (рис. 158), где  — площадка, пересекающая тот же телесный угол перпендикулярно к оси пучка, так что . Мы предполагаем площадки  и  настолько малыми и столь удаленными от источника, что для всех точек этих площадок расстояние до источника может считаться одинаковым  и лучи во всех точках составляют с перпендикуляром к площадке  один и тот же угол  (угол падения).

Рис. 158. Освещенность площадки  пропорциональна косинусу угла , образуемого перпендикулярно к площадке с направлением светового потока

В таком случае освещенность площадки  есть

.                                (71.3)

Итак, освещенность, создаваемая точечным источником на некоторой площадке, равна силе света, умноженной на косинус угла падения света на площадку и деленной на квадрат расстояния до источника.

Закон обратных квадратов соблюдается вполне строго для точечных источников. Если же размеры источника не очень малы по сравнению с расстоянием до освещаемой поверхности, то соотношение (71.1) не верно и освещенность убывает медленнее, чем по закону ; в частности, если размеры светящейся поверхности велики по сравнению с , то освещенность практически не меняется при изменении . Чем меньше размеры источника  по сравнению с , тем лучше выполняется закон обратных квадратов. Так, при соотношении  расчеты изменения освещенности по формуле (71.1) дают вполне хорошее согласие с наблюдением. Таким образом, закон обратных квадратов можно считать практически выполняющимся, если размеры источника не превышают  расстояния до освещаемой поверхности.

Освещенность поверхности, как видно из формулы (71.3), зависит, кроме того, от угла, под которым падают на эту поверхность световые лучи.