§ 89. Изображение в линзе точек, лежащих на главной оптической оси. Формула линзы.
Пусть точечный источник света находится в точке
на главной оптической оси линзы, на расстоянии
от ее оптического центра
(рис. 197). Рассмотрим, как будет преломляться в линзе узкий пучок лучей, примыкающий к прямой
, являющейся осью этого пучка.
Пусть один из лучей (
) светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке
, находящейся на высоте
над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что к мало по сравнению с расстоянием
от источника до линзы. С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что к мало по сравнению с
, а следовательно, и по сравнению с радиусами
и
ограничивающих линзу поверхностей. Угол, образуемый лучом
с осью, обозначим
. Так как
мало, то и угол
мал. Преломленный луч пойдет по направлению
и, преломившись снова на второй ограничивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направлению
, составляющему с осью угол
. Обозначим через
расстояние от оптического центра линзы до точки
, в которой преломленный луч пересекает главную ось.
Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки
и
плоскости, касательные к преломляющим поверхностям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму
с преломляющим умом
. Вместо того чтобы рассматривать преломление луча
в линзе, будем рассматривать преломление того же луча в тонкой призме
.
Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а, который по формуле тонкой призмы равен
, (89.1)
где
— показатель преломления вещества, из которого сделана линза.
Рассмотрим также луч
, идущий параллельно главной оси и падающий на линзу в точке
. Преломление такого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости
здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки
под углом
к оси и пройдет через главный фокус
на расстоянии
от оптического центра.

Рис. 197. Преломление в линзе луча
, выходящего из точки
на оси. Угол
и толщина линзы сильно преувеличены
Точки
и
очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке
и точках
или
, практически не различаются и имеют один и тот же преломляющий угол
, Угол
, на который отклонится этот луч от первоначального направления после преломления в тонкой призме, равен опять
, т. е. равен углу
. С другой стороны, этот угол
равен, очевидно, углу
(рис. 197).
Таким образом, получаем
. (89.2)
Но угол
как внешний угол в треугольнике
равен сумме
. Итак, имеем
(89.3)
Лучи
,
и
идут под небольшими углами к оси, т. е. углы
,
и
малы. Заменяя, как и в предыдущем параграфе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной линзы и разницей в высоте точек
,
и
над осью, можно приближенно написать:
. (89.4)
Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), находим
, (89.5)
или, сокращая на общий множитель
,
. (89.6)
В правой части полученного выражения стоит величина
, которая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит только от свойств линзы — от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.
То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина
, позволяет сделать очень важные выводы, а именно, что не только луч
, но и всякий другой луч, выходящий из точки
, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку
, хотя каждый из этих лучей падает на линзу на разной высоте над осью. Единственное, но весьма существенное ограничение, которое мы накладываем на рассматриваемые лучи, состоит в том, что все они составляют с осью линзы малые углы.
Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точки
, соберутся после преломления в линзе снова водной точке
, являющейся изображением точки
. Мы доказали, следовательно, что образующееся в тонкой линзе изображение точечного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.
Изображения, при получении которых выполнено условие передачи каждой точки объекта одной точкой изображения, носят название стигматических. Изображения, у которых это условие не соблюдено, носят название астигматических.
Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей (§82) положения источника света
и его изображения
обратимы, т. е., поместив источник в
, мы получим его изображение в точке
. Точки
и
называются сопряженными.
В геометрической оптике особое значение имеет задача получения стигматических изображений. Степень стигматичности изображений определяет качество служащих для их получения оптических систем. Нарушение оптической системой стигматичности падающих на нее световых пучков ведет к расплывчатости изображения. В дальнейшем при изучении простейших оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу о стигматичности даваемых ими изображений.
Полученная нами формула (89.6) связывает между собой расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на главной оси линзы: источника
, его изображения
и фокуса
. Это — основная формула тонкой линзы.