22.6. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНОГО ПРЕДСКАЗАНИЯ ДЛЯ КОДИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В процессе проектирования системы линейного предсказания необходимо определить следующие параметры кодера: количество и расположение пройденных в ходе развертки элементов, уровни которых будут использоваться для предсказания, весовой коэффициент для каждого из этих элементов, а также количество и расположение уровней квантования. Нелинейный характер операции квантования создает значительные аналитические трудности для оптимизации конструкции кодера с целью обеспечения минимальной ошибки воспроизведения изображения.

Большинство методов расчета предусматривает оптимизацию предсказателя без учета ошибок квантования, а затем оптимизацию, снижающую до минимума ошибку квантования [82-86]. Ниже мы будем следовать именно такому подходу.

При кодировании изображений в системе с предсказанием (рис. 22.6.1) предсказатель вырабатывает оценку  фактического уровня  данного элемента на основе сведений об уровнях предшествующих по ходу развертки элементов, принадлежащих тому же кадру или предшествующим кадрам.

Рис. 22.6.1. Система кодирования с линейным предсказанием по замкнутой схеме для передачи изображений: а — кодирующий блок: б — декодирующий блок.

Ошибка предсказания  — разность оценки уровня и его фактической величины для данного элемента

                  (22.6.1)

— квантуется, кодируется и передается по каналу связи. На приемной стороне декодированная квантованная ошибка предсказания комбинируется с оценкой уровня элемента для восстановления значения уровня:

                (22.6.2)

Если удалить квантователь из схемы рис. 22.6.1, то восстановленный уровень элемента совпадет с его фактической величиной  [без учета погрешностей оценки]. Требования к пропускной способности канала связи могут быть снижены лишь путем квантования и кодирования ошибки предсказания. Обычно для квантования этой величины используют от 2 до 16 уровней, а для кодирования — от 1 до 4 двоичных разрядов.

Для оценки  уровня данного элемента в передатчике теоретически имеются уровни всех пройденных в процессе развертки элементов данного и предшествующего кадров, а также квантованные ошибки предсказания  для каждого из этих элементов. Приемник системы располагает восстановленными значениями уровней всех предшествующих элементов и квантованными ошибками предсказания для каждого из этих элементов.

Возможны два принципиально различных метода предсказания, которые следует рассмотреть с точки зрения их применимости в кодирующих системах. Один из этих методов — прямое предсказание, по разомкнутой схеме (feedforward), а другой — предсказание с обратной связью, по замкнутой схеме (feedback). Система с предсказанием по разомкнутой схеме строит оценку в виде линейной комбинации уровней предшествующих элементов, обращаясь за этими данными к запоминающему устройству. Основная трудность при построении систем с прямым предсказанием состоит в том, что декодирующий блок системы в отличие от кодирующего блока в этом случае не имеет доступа к зарегистрированной в запоминающем блоке совокупности фактических уровней предыдущих элементов; декодер может оперировать только восстановленными уровнями, значения которых в результате квантования определены с погрешностью. Таким образом, оценки  и  уровня данного элемента, полученные в передатчике и приемнике, будут различаться между собой, что в конечном счете приведет систему к потере устойчивости. Эта трудность может быть устранена предсказанием с обратной связью.

В системе кодирования изображений с предсказанием, построенной по замкнутой схеме (рис. 22.6.1), в передатчике получается опенка в виде линейной комбинации прошлых ошибок предсказания. Выходной сигнал первой линии задержки соответствует ошибке предсказания для соседнего элемента слева, а выходной сигнал второй линии задержки —для соседнего элемента сверху. Весовые коэффициенты  обычно подбираются таким образом, чтобы минимизировать дисперсию ошибки предсказания. Если квантователь не включен в контур обратной связи, то сложение оценки  для предшествующего элемента с разностным сигналом  приводит к точному воспроизведению уровня очередного элемента с задержкой на один элемент. Затем производятся квантование и кодирование разностного сигнала для передачи по каналу связи. На приемной стороне квантованная ошибка  прибавляется к оценке  приемника; полученная сумма есть восстановленное значение уровня элемента. Если бы разностный сигнал не подвергался квантованию, то оценки передатчика и приемника были бы идентичны и восстановленное значение  представляло бы собой задержанный на межэлементный интервал уровень  очередного элемента. Квантование разностного сигнала приводит к расхождению между  и  при восстановлении уровня. Это расхождение может накапливаться, поскольку оценки передатчика и приемника будут неодинаковы, если квантователь не включен в контур обратной связи. Накопление ошибок можно устранить, включив квантователь в состав контура обратной связи. В результате передатчик и приемник будут давать одинаковые оценки, поскольку в этом случае работу предсказателей как передатчика, так и приемника будет определять одинаковый квантованный разностный сигнал. Контур обратной связи, построенный по такой схеме, может быть с одинаковым успехом спроектирован в расчете на достижение минимума как ошибки квантования, так и дисперсии разностного сигнала.

Рассмотрим теперь вопрос об определении весовых коэффициентов предсказателя. Пусть в соответствии с рис. 22.5.10  обозначают уровни  предшествующих элементов, используемых для предсказания уровня элемента с фактическим уровнем . Предшествующие элементы могут находиться на той же строке и на предыдущих строках. При расчете кодера уровни  этих элементов рассматриваются как отсчеты некоторой реализации случайного процесса с известными моментами первого и второго порядка.

Если пренебречь операцией квантования, то линейная оценка уровня элемента  определяется как

,                          (22.6.3)

где  — весовые коэффициенты предсказания. Ошибка предсказания

                                                   (22.6.4)

В большинстве случаев весовые коэффициенты предсказания выбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку предсказания

                         (22.6.5)

Преимущество такого критерия для оценки качества работы состоит в том, что он удобен с точки зрения анализа, достаточно хорошо согласуется с субъективной оценкой качества и, как подтвердится в дальнейшем, оказывается в прямой пропорциональной зависимости от ошибки квантования. Для минимизации среднеквадратической ошибки предсказания следует вычислить частные производные функции  по каждой из переменных  и приравнять каждую производную нулю. Итак, пусть

     (22.6.6)

Дифференцирование дает следующий результат:

          (22.6.7а)

                            (22.6.7б)

при . Совместное решение  уравнений (22.6.7) определяет оптимальные весовые коэффициенты  через математические ожидания  всех элементов и смешанные моменты  всех возможных пар элементов, используемых для предсказания. Если считать, что переменные  имеют оптимальные значения, то минимум среднеквадратической ошибки предсказания определяется выражением

                                   (22.6.8)

Известно, что в общем случае при неограниченном увеличении  достигается полная декорреляция совокупности ошибок предсказания [87]. Если же изображение представляет собой реализацию случайного процесса, характеризующегося авторегрессией - го порядка, то для полной декорреляции требуется только  предшествующих элементов [86]. В этом случае дальнейшее увеличение числа элементов уже не повышает точности предсказания.

В табл. 22.6.1 приведен список весовых коэффициентов предсказателя для случая двумерного марковского процесса с автокорреляционной функцией

                  (22.6.9)

где  — номера строк, — номера столбцов,  и  — масштабные коэффициенты в направлении строк и столбцов.

Таблица 22.6.1. Весовые коэффициенты и среднеквадратическая ошибка предсказания для различных вариантов кодирующих систем с линейным предсказанием. Указаны порядок предсказания и характеристика относительного расположения элементов, используемых для предсказания.

Весовые коэф фици енты	1-го порядка, гор.	1-го по рядка, верт.	2-го по рядка, гор.	2-го по рядка, гор. /верт.	3-го по рядка, гор.	3-го по рядка, гор. /верт. /диаг.	3-го по рядка	4-го по рядка	5-го по рядка	6-го по рядка
	0,970		0,970	0,595	0,970	0,628	0,970	0.652	0,650	0,602
		0,960		0,394		0,443	0,960	0,439	0,449	0,243
			0,000		0,000		0,941	-0,033	-0,032	-0,018
						-0,081		-0,071	-0,065	-0,020
									-0,015	-0,093
										0,279
					0,000
	5,910 %	7,840 %	5,910%	- 4,406 %	5,910 %	4,337 %	4,391 %	4,371 %	4,370 %	3,960 %

На рис. 22.6.2 для ряда кодирующих систем графически показано влияние изменения порядка предсказания на среднеквадратическую ошибку предсказания. Как видно, предсказание 4-го порядка уже приводит практически к минимуму этой ошибки.

Рис. 22.6.2. Зависимость среднеквадратической ошибки предсказания в кодирующих системах с линейным предсказанием от порядка предсказания.

В экспериментах по кодированию изображений с предсказанием было обнаружено, что статистические свойства ошибки предсказания достаточно хорошо описываются двусторонним распределением Лапласа

,                           (22.6.10)

где   и  — среднеквадратическое отклонение разностного сигнала предсказания. Общий подход к аналитическому решению задачи о наилучшем квантовании состоит в том, чтобы, задавая число  уровней квантования, найти их величины  и величины  пороговых уровней , при которых получается минимум среднеквадратической ошибки квантования. В соответствии с таким подходом расположение пороговых уровней и уровней квантования может быть рассчитано с помощью алгоритма Макса в соответствии с формулой (6.1.11).

В табл. 6.1.1 показано расположение уровней квантования и пороговых уровней для распределения Лапласа с единичной дисперсией. С другой стороны, можно воспользоваться квантованием со сжатием, подвергнув разностный сигнал предсказания нелинейному преобразованию, чтобы иметь затем дело с переменной

 при ,        (22.6.11а)

 при .                                                                 (22.6.116)

Величина  затем равномерно квантуется. Квантованная величина  подвергается другому нелинейному преобразованию, что дает окончательно уровни квантования

 при      (22.6.12a)

 при                                                                           (22.6.12б)

Множитель  в этих равенствах обозначает максимальный уровень квантования, определяемый алгоритмом Макса. Рассматривая этот множитель как переменный параметр, можно ценой увеличения среднеквадратической ошибки улучшить субъективную оценку качества изображений. Если установить для  сравнительно малый уровень, то возрастет число градаций для малых ошибок предсказания и тем самым улучшится воспроизведение точкой структуры изображения, хотя и за счет искажений в передаче контуров с большим перепадом уровней. С другой стороны, значение можно повысить, с тем чтобы улучшить передачу контуров ценой снижения чувствительности к тонким деталям изображения.

Очевидно, что экспоненциальное распределение (22.6.10) можно использовать в качестве статистической модели плотности вероятности разностного сигнала лишь тогда, когда яркость элементов изображения не приближается к верхней и нижней границам полного диапазона яркости, так что воспроизведение изображения не сопровождается ограничением яркости. Мусман [7] предложил усовершенствованную процедуру квантования, предусматривающую определение пороговых уровней и уровней квантования исходя из условной плотности вероятности . Получаемая при этом статистическая модель позволяет учитывать, в какой степени уровень данного элемента приближается к верхней или нижней границе диапазона яркости. Построение квантователя с учетом условных плотностей вероятности высокого порядка представляется практически невыполнимым из-за огромного числа возможных состояний квантуемого вектора. Однако квантователь, перестраиваемый в зависимости от близости к границам диапазона яркости, может быть осуществлен при небольшом усложнении его схемы.

Рис. 22.6.3 Теоретическая зависимость среднеквадратической ошибки воспроизведения в кодирующих системах с линейным предсказанием от количества двоичных единиц, отводимых на передачу элемента изображения.

В соответствии с формулой (6.1.12) среднеквадратическая ошибка квантования может быть выражена через плотность вероятности ошибки предсказания следующим образом:

                                      (22.6.13)

Здесь — дисперсия разностного сигнала предсказания, определенная согласно (22.6.8), a  и  - пороговые уровни и уровни квантования соответственно. В случае распределения Лапласа (22.6.10) выражение для ошибки квантования имеет вид

    (22.6.14)

при условии, что число уровней квантования четно. На рис. 22.6.3 для ряда кодирующих систем с предсказанием показана зависимость между расходом двоичных цифр и среднеквадратической ошибкой воспроизведения, характеризующей качество передачи изображений.