12.2. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ГИСТОГРАММ

Гистограмма распределения яркостей типичного изображения естественного происхождения, подвергнутого линейному квантованию, обычно имеет ярко выраженный перекос в сторону малых уровней; яркость большинства элементов изображения ниже средней. На темных участках подобных изображений детали часто оказываются неразличимыми. Одним из методов улучшения таких изображений является видоизменение гистограммы. Этот метод предусматривает преобразование яркостей исходного изображения, с тем чтобы гистограмма распределения яркостей обработанного изображения приняла желаемую форму. Эндрюс, Холл и другие исследователи [3-5] получили ряд улучшенных изображений путем выравнивания гистограмм распределения, т. е. в каждом случае они добивались равномерности распределения яркости обработанного изображения. Фрей [6] исследовал метод видоизменения гистограмм, который обеспечивал экспоненциальную или гиперболическую форму распределения яркостей улучшенного изображения. Кетчам [7] улучшил этот метод, применив «локальные», подсчитанные по части изображения, гистограммы.

Рис. 12.2.1 иллюстрирует процедуру выравнивания гистограммы в том случае, когда число уровней на выходе составляет половину числа уровней на входе. Здесь  - доля элементов входного изображения, квантованная яркость которых соответствует -му уровню . Целью процедуры выравнивания гистограммы является формирование выходного изображения , нормированная гистограмма которого описывается соотношением , где . Алгоритм преобразования реализуется следующим образом. Начиная с наименьшего уровня яркости исходного изображения, объединяют элементы соседних интервалов квантования таким образом, чтобы суммарный результат наименее отличался от величины . Все объединенные элементы приводятся к первому новому уровню, который располагается точно в середине первого интервала квантования обработанного изображения. Эту процедуру повторяют для остальных более высоких уровней яркости. При большом числе уровней квантования исходного изображения, превышающем число уровней квантования улучшенного изображения, удается получить почти равномерную гистограмму. Рассмотренная процедура приводит к некоторому увеличению ошибок квантования. Существует метод выравнивания гистограмм распределения яркостей, который даже при одинаковом числе уровней квантования исходного и улучшенного изображений обеспечивает получение равномерной гистограммы. Этот метод основан на случайном перераспределении элементов изображения при формировании выходных интервалов квантования из входных.

Рис. 12.2.1 Пример приближенного выравнивания гистограммы распределения яркостей, когда обработанное и исходное изображения имеют неодинаковое число уровней квантования.

Процедуру видоизменения гистограммы можно рассматривать как монотонное поэлементное преобразование  входной интенсивности  в выходную интенсивность , в результате которого исходное распределение вероятностей  переходит в распределение вероятностей , имеющее желательную форму. Очевидно, что сумма вероятностей всех уровней должна равняться единице. Таким образом,

,                       (12.2.1а)

.                       (12.2.1б)

Кроме того, для любого  должны быть одинаковы исходная и преобразованная функции распределения вероятностей. Другими словами, вероятность того, что яркость элементов исходного изображения меньше или равна , должна равняться вероятности того, что яркость элементов обработанного изображения будет меньше или равна , где :

.                  (12.2.2)

Сумма в правой части равенства определяется распределением вероятностей для исходного изображения. В случае конкретного изображения это распределение заменяется распределением частот, поэтому можно записать

.                  (12.2.3)

Обращение этого равенства позволяет получить решение для  в зависимости от . В общем случае такое обращение очень трудно или даже невозможно выполнить аналитически, однако численные методы позволяют легко решить эту задачу. Получаемое решение имеет вид таблицы, в которой для каждого входного уровня указывается соответствующий выходной уровень.

Приближенную форму преобразования гистограммы можно получить, если в формуле (12.2.2) дискретные распределения вероятностей заменить плотностями непрерывных распределений вероятностей. Результирующее приближение имеет вид

,                    (12.2.4)

где  и  - плотности вероятности  и  соответственно. Интеграл в правой части равенства представляет собой функцию распределения вероятностей  входной переменной . Следовательно, можно записать

.                    (12.2.5)

В частном случае, когда требуется, чтобы преобразованная плотность вероятности была равномерной, т. е.

                  (12.2.6)

в пределах , характеристика передачи уровней, обеспечивающая выравнивание гистограммы, имеет вид

.                  (12.2.7)

В табл. 12.2.1 представлены некоторые разновидности гистограмм обработанных изображений и соответствующие им характеристики передачи уровней.

Таблица 12.2.1. Характеристики передачи уровней, используемые при видоизменении гистограмм

Плотность вероятности на выходе	Характеристика передачи уровней
Равномерная
Экспоненциальная
Рэлея
Степени 2/3
Гиперболическая
Примечание. Функция распределения вероятностей  исходного изображения аппроксимируется гистограммой распределения .

Фрей  [6] предложил метод гиперболизации гистограмм (см. табл. 12.2.1), который поясняет рис. 12.2.2. Согласно этому методу, гистограмма исходного изображения видоизменяется так, что плотность вероятности выходного изображения принимает гиперболическую форму. Если теперь допустить, что в зрительной системе выходной сигнал фоторецепторов пропорционален логарифму или кубическому корню входной яркости, то результирующая плотность вероятности окажется равномерной. В данном случае выравнивание гистограммы производится с учетом свойств палочек и колбочек сетчатки.

Рис. 12.2.2. Гиперболическое видоизменение гистограммы.

На рис. 12.2.3 приведены примеры изображений, улучшенных методом видоизменения гистограмм. Изучение представленных образцов показывает, что степень улучшения субъективного восприятия зависит от характера изображения.

Рис. 12.2.3. Примеры видоизменения гистограмм.

а - исходное изображение; б - гистограмма исходного изображения; в - изображение после выравнивания гистограммы; г - гистограмма улучшенного изображения в; д - изображение после гиперболического видоизменения гистограммы; г - гистограмма улучшенного изображения д.