14.9. МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Большинство из рассмотренных в этой главе методов реставрации изображений основано на использовании простой модели нерезкого изображения, пораженного аддитивным шумом. Более того, почти все эти методы разработаны для критериев наименьших квадратов или среднеквадратической ошибки. Теперь рассмотрим более общий класс методов реставрации изображений, основанных на теории статистического оценивания. Обращаясь к формуле (13.7.2), запишем обобщенное векторное соотношение, связывающее вектор наблюдаемого поля  с векторами идеального изображения  и шума :

,              (14.9.1)

где  - обобщенная передаточная функция, моделирующая поэлементные и пространственные искажения изображения. Для нахождения оценки  по формуле (14.9.1) можно воспользоваться двумя общими подходами, основанными на групповой и рекуррентной обработке соответственно. Групповой процессор вычисляет оценку с использованием одновременно всех элементов наблюдаемого поля ; напротив, рекуррентный процессор пользуется только теми элементами поля , которые расположены в некоторой окрестности оцениваемого элемента. При сильной корреляции элементов  групповой процессор вырабатывает более точную оценку, поскольку он использует больше входных данных. Ниже рассматриваются некоторые методы статистического оценивания [44—48], потенциально применимые к модели реставрации изображений (14.9.1).

Статистическая оценка самого общего вида минимизирует некоторый усредненный функционал ошибки, определенный как

,       (14.9.2)

где  - функция ошибки или стоимостная функция,  - апостериорная плотность вероятности вектора идеального изображения  при заданном наблюдаемом векторе . Если в качестве функционала ошибки используется среднеквадратическая ошибка (14.6.2), получаемая оптимальная оценка называется бейесовской и имеет вид

,             (14.9.3)

т. е. она является условным математическим ожиданием вектора идеального изображения при заданном наблюдаемом векторе. Бейесовская оценка будет оптимальной и в случае применения многих других функционалов ошибки (например, абсолютной ошибки) при условии, что функционал ошибки обладает симметрией, а апостериорная плотность вероятности симметрична и одномодальна [48]. К сожалению, в случае нелинейной модели (14.9.1) наблюдаемого поля вычисление байесовской оценки (14.9.3)           обычно связано с большими трудностями. Нараги [49]разработал алгоритм реставрации изображений, дающий приближение к оценке (14.9.3).

Другая распространенная статистическая оценка - так называемая оценка максимума апостериорной вероятности (МАВ), которая соответствует моде апостериорной плотности вероятности . Для нахождения моды не обязательно располагать информацией об апостериорной плотности вероятности в явной форме. Теорема Бейеса позволяет выразить апостериорную плотность условной вероятности через плотности безусловных вероятностей  и  и плотность условной вероятности :

.      (14.9.4)

Логарифмируя обе части равенства (14.9.4) и дифференцируя результат по , получаем характеристическое уравнение вида

,      (14.9.5)

которое требуется решить относительно оценки  при наличии подходящих моделей для  и . Большинство найденных решений основано на гауссовых моделях для  и . Хант [3] применил метод МАВ – оценки для решений задач реставрации изображений при использовании модели

,         (14.9.6)

где  матрица нерезкости,  - известный оператор поэлементной нелинейности, воздействующий на каждый элемент вектора . Приняв гауссову модель, Хант представил (14.9.5) в рекуррентной форме, пригодной для вычисления решений итеративными методами.

Оценка наибольшего правдоподобия есть такое значение , при котором апостериорная плотность вероятности  для фактически наблюдаемого поля  максимальна. Математически такая оценка определяется как

.        (14.9.7)

Если вектор идеального изображения  имеет равномерное распределение, оценка наибольшего правдоподобия совпадает с МАВ-оценкой.

Методы статистических оценок должны дать хорошие результаты при решении задач реставрации изображений с нелинейными моделями наблюдаемых полей изображения. В таких случаях методы линейных оценок представляются неэффективными. Однако статистические методы реставрации изображений, известные в настоящее время, находят ограниченное применение из-за трудностей статистического моделирования и сложности практической реализации.