18.4.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Аналитические характеристики формы - это математические описания, которые дают несколько иное ее представление. Конечно, чтобы эти описания оказались полезными, они должны быть проще, чем исходное представление формы в виде массива значений дискретных отчетов.

Рис. 18.4.3. Определение кривизны.

Периметр произвольной замкнутой кривой можно представить через совокупность текущих значений кривизны в каждой его точке. Рассмотрим непрерывную замкнутую кривую, вычерченную в комплексной плоскости на рис. 18.4.3, для которой положение точки на периметре задается ее координатой , зависящей от длины . Комплексную функцию  можно выразить в виде ее действительной  и мнимой  составляющих:

.                                                  (18.4.13)

Угол наклона касательной, показанный на рис. 18.4.3, определяется выражением

,                                    (18.4.14)

а кривизна представляет собой действительную функцию

.                                                      (18.4.15)

Зная функцию кривизны, координаты точек ,  можно получить по формулам

,              (18.4.16а)

,              (18.4.16б)

где  и  - координаты начальной точки.

Поскольку функция кривизны периодическая с периодом, равным длине периметра , ее можно разложить в ряд Фурье

                                  (18.4.17а)

с коэффициентами Фурье

.                             (18.4.17б)

На этой основе Косгриф [32], Брилл [33] и другие исследователи разработали способ получения набора фурье-описаний с помощью разложения функции формы в ряд Фурье при ограничении несколькими членами ряда. Эти описания используются для символического представления формы при последующем распознавании и анализе.

Если форма имеет резкие изломы, как, например, прямоугольник, функция кривизны в точках разрыва оказывается неопределенной. Эту аналитическую трудность можно обойти, используя функцию формы

,                                       (18.4.18)

предложенную Цанем [34]. Эта функция также периодическая с периодом , и, следовательно, для получения описания формы ее можно раскладывать в ряд Фурье.

Беннетт и Макдональд [35] проанализировали ошибку дискретизации, вызванную тем, что функция кривизны определяется на дискретном изображении. Для дискретного случая кривизна определяется формулами

,                                           (18.4.19а)

,                     (18.4.19б)

,                                      (18.4.19в)

где  - -й элемент дуги. На рис. 18.4.4 приведены результаты фурье-разложения дискретной функции кривизны при использовании простого правила четырехсвязности.

Рис. 18.4.4. Примеры разложений в ряд Фурье функции кривизны [35].

Другой подход к получению аналитического описания формы состоит в аппроксимации посредством моментов. В теории вероятностей смешанный момент -го порядка совместной плотности вероятности  определяется как

.                                        (18.4.20)

Зная совместную характеристическую функцию

,               (18.4.21)

смешанный момент можно определить как

.                                              (18.4.22)

Смешанные центральные моменты можно получить, заменяя в выражении (18.4.20)  на  и  на , где  и  - маргинальные средние значения плотности величин  и  соответственно.

Эти классические соотношения теории вероятностей были применены Ху [36] и Алтом [37] для описания формы. Идея довольно проста. Совместная вероятность в выражениях (18.4.20) и (18.4.21) заменяется на функцию изображения . Форма объекта представляется несколькими моментами низкого порядка. Следует заметить, что выражение (18.4.21) непосредственно связано со стандартным непрерывным двумерным преобразованием Фурье, и поэтому следует ожидать тесной связи между моментами и компонентами спектра Фурье низкого порядка для функции изображения.