Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


19.2. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПОЛЕЙ

Согласованный фильтр, реализованный в виде электрической схемы, широко применяется для обнаружения одномерных сигналов, например, в радиолокации и связи [5-7]. Для обнаружения объектов на изображениях можно использовать двумерный согласованный фильтр [8-12].

Применяемый для обработки изображений согласованный фильтр представляет собой пространственный фильтр, выходной сигнал которого есть мера пространственной корреляции между входным и эталонным изображениями. Этот сигнал затем можно использовать, например, для обнаружения заданного изображения или для пространственной привязки двух изображений.

Рассмотрим задачу обнаружения известного (эталонного) сигнала-изображения, описываемого функцией , на неизвестном входном изображении – функции , которое искажено воздействием аддитивного шума, т. е. стационарного случайного поля , независящего от . Таким образом,  состоит либо из сигнала-изображения и шума

,                             (19.2.1а)

либо только из шума

.                                                  (19.2.1б)

Неизвестное изображение подвергается пространственной фильтрации согласованным фильтром с импульсным откликом  и частотной характеристикой , на выходе которого образуется изображение, описываемое функцией

.                           (19.2.2)

Согласованный фильтр рассчитан так, чтобы отношение энергии сигнала-изображения к энергии шума достигало максимума в некоторой точке .

Мгновенное значение энергии сигнала-изображения в точке  на выходе фильтра при отсутствии шума есть

                     (19.2.3)

при  и . Согласно теореме о свертке,

,  (19.2.4)

где  - спектр Фурье-сигнала . Предполагается, что аддитивный шум на входе  - стационарный, независимый от сигнала-изображения случайный процесс, который описывается спектральной плотностью . Из формулы (18.10.8) следует, что полная мощность шума на выходе фильтра равна

.                               (19.2.5)

Тогда для отношения сигнал/шум получаем

.               (19.2.6)

Известно, что это отношение достигает максимума, если частотная характеристика фильтра имеет вид [5, 8]

,    (19.2.7)

Если входной шум является белым с равномерным спектром , то частотная характеристика согласованного фильтра сводится к виду

                              (19.2.8)

и соответствующий импульсный отклик фильтра принимает вид

.                                       (19.2.9)

В этом случае импульсный отклик согласованного фильтра пропорционален комплексно-сопряженной и повернутой на 180° функции, описывающей сигнал-изображение.

Для белого шума сигнал на выходе фильтра можно записать следующим образом:

,                               (19.2.10а)

или

.         (19.2.10б)

Легко видеть, что если смещение согласованного фильтра  выбрано равным нулю, сигнал на выходе фильтра

            (19.2.11)

пропорционален коэффициенту корреляции функции входного изображения  и комплексно-сопряженного сигнала-изображения. Обычно параметры  устанавливаются равными нулю, что соответствует отсутствию сдвига между эталонным сигналом и идентичной ему компонентой входного изображения.

Если неизвестное изображение состоит из сигнала-изображения, смещенного на расстояние , , и аддитивного шума:

,                       (19.2.12)

то сигнал на выходе согласованного фильтра при ,  будет равен

.           (19.2.13)

Пик корреляции будет иметь место при ,  на выходной плоскости; отсюда находится величина смещения входного изображения относительно эталонного. Следовательно, согласованный фильтр инвариантен относительно сдвига. Однако он не инвариантен относительно поворота изображения, которое требуется обнаружить.

В общем случае небелого шума можно осуществить согласованный фильтр, заданный уравнением (19.2.7), в виде двухступенчатого линейного фильтра с частотной характеристикой

.                         (19.2.14)

Первая ступень, называемая отбеливающим фильтром, имеет частотную характеристику, выбранную так, что шум  со спектральной плотностью  на его входе преобразуется в белый шум с единичной энергией на его выходе, так что

.                                          (19.2.15)

Частотную характеристику отбеливающего фильтра можно определить, представив спектральную плотность исходного шума в виде произведения [7]:

.                     (19.2.16)

При этом должны выполняться следующие условия:

,                                         (19.2.17а)

,                                         (19.2.17б)

.        (19.2.17в)

Можно положить, например,

,         (19.2.18)

где  - произвольный фазовый угол. В этом случае частотная характеристика отбеливающего фильтра равна

.                                            (19.2.19)

На вход фильтра второй ступени поступает сигнал , где  - белый шум с единичной спектральной плотностью и

                                             (19.2.20)

есть преобразованный сигнал-изображение со спектром

.    (19.2.21)

Из формулы (19.2.8) находится оптимальная частотная характеристика фильтра второй ступени

,  (19.2.22а)

или

.               (19.2.22б)

Произведение  дает частотную характеристику оптимального фильтра, определяемую  уравнением (19.2.7).

Основной недостаток согласованного фильтра, определяемого уравнением (19.2.7), состоит в том, что его частотная характеристика преимущественно зависит от энергии изображений, а не от их пространственной структуры. Для примера рассмотрим сигнал-изображение в виде яркого объекта шестиугольной формы, расположенного на черном фоне. Если неизвестное изображение содержит круглый диск такой же яркости и такой же площади, как и этот объект, то получающаяся в результате функция корреляции будет очень похожа на функцию корреляции, которая имеет место при идеальном сходстве. Вообще обычный согласованный фильтр дает относительно плохое разделение объектов различной формы, которые имеют почти одинаковые размеры и почти одинаковую энергию. Этот недостаток до некоторой степени преодолевается с помощью дифференциального согласованного фильтра [8], использующего контурную структуру объекта, который требуется обнаружить.

Частотная характеристика дифференциального согласованного фильтра -го порядка задается выражением

,        (19.2.23)

где  - целое. При  имеем обычный согласованный фильтр с

,                  (19.2.24)

а при  - фильтр, называемый согласованным «лапласовским» фильтром, частотная характеристика которого равна

.                                                            (19.2.25)

Его импульсный отклик равен

.                                                 (19.2.26)

Частотную характеристику дифференциального согласованного фильтра -го порядка можно записать следующим образом:

.                                        (19.2.27)

Таким образом, дифференциальную согласованную фильтрацию можно выполнить, последовательно обрабатывая сигнал сначала обобщенным дифференциальным оператором, функция которого заключается в контрастировании перепадов на изображении, а затем обычным согласованным фильтром.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>