3.4.2.3. Вейвлеты

Популярное вейвлетное преобразование, широко используемое при сжатии изображений, основано на семействах фильтров с коэффициентами, которые эквивалентны дискретным вейвлетным функциям [4]. Основная операция дискретного вейвлетного преобразования применяется к дискретному сигналу, состоящему из  последовательных сэмплов. Пара фильтров применяется к сигналу для его разделения на две составляющие: низкочастотную подполосу () и высокочастотную подполосу (). Каждая подполоса прореживается через один элемент, и в каждой последовательности частот остается по  сэмплов. При правильном выборе фильтров такая операция является корректной.

Рис. 3.32. Процесс двухмерного вейвлетного разложения.

Рис. 3.33. Изображения после первого шага разложения.

Этот подход можно обобщить для применения к двухмерным сигналам, содержащим сэмплированные изображения (рис. 3.32). Каждая строка двухмерного изображения фильтруется низкочастотным и высокочастотным фильтром ( и ). Выход каждого фильтра прореживается с шагом 2, при этом получается 4 субизображения (,, и ). Эти четыре «субполосных» изображения можно объединить так, чтобы получить ровно столько же сэмплов, что и в исходном изображении (рис. 3.33),  это исходное изображение, из которого удалены высокочастотные составляющие по горизонтали и вертикали и сделано прореживание с шагом 2;  это высокочастотная составляющая по горизонтали и оставшаяся низкочастотная составляющая по вертикали;  низкочастотная составляющая по горизонтали и высокочастотная составляющая по вертикали и, наконец,  высокочастотные составляющие и по горизонтали, и но вертикали. Эти четыре субполосы содержат в себе всю информацию об исходном изображении, но разреженная структура , и  делает их удобными для сжатия.

Рис. 3.34. Два шага вейвлетного разложения

Рис. 3.35. Пять шагов вейвлетного разложения.

При использовании в приложениях компрессии данных описанное выше двухмерное вейвлетное разложение повторно применяется к части , из которой формируется четыре новых субполосных изображения. Эта процедура многократно повторяется применительно к низкочастотной составляющей двухмерного сигнала (это всегда верхний левый квадрант). Результатом ее применения служит дерево субполосных изображений. На рис. 3.34 приведено это дерево после второй стадии разложения, а на рис. 3.35 — после пятой итерации. Большинство сэмплов (коэффициентов) высокочастотных составляющих близки к нулю (почти черный цвет), и эффект сжатия можно получить, удалив эти малозначащие коэффициенты и передав оставшиеся декодеру. Декодер, в свою очередь, восстанавливает изображения, сэмплируя, фильтруя и складывая данные в обратную сторону (т.е. обращая операции рис. 3.32).