3.5.7. Преобразование Хаара

Преобразование Хаара [Stollnitz 92] используется на практике для отображения поддиапазона частот. Оно будет обсуждаться в главе 4. Однако, в силу простоты этого отображения, его также можно объяснить в терминах базисных изображений. Поэтому мы включили его рассмотрение и в этот параграф. Преобразование Хаара основывается на функциях Хаара , которые задаются при  и для , где .

Прежде, чем задать это преобразование, напомним, что любое целое число  можно представить в виде суммы , где ,  или 1 при , и  при . Для , например, имеем следующие представления: , ,  и .

Базисные функции Хаара задаются формулами

 при ,                      (3.14)

и

               (3.15)

Теперь можно построить -матрицу  преобразования Хаара. Элемент с индексами  этой матрицы равен , где  и . Например,

,               (3.16)

Рис. 3.44. Базисные изображения преобразования Хаара при N = 8.

(напомним, что  и  при ). На рис. 3.44 дана программа для вычисления этой матрицы для любого , а также построены базисные изображения при . Выпишем матрицы  и :

,

.

Для блока пикселов  размера , где , его преобразование Хаара вычисляется по формуле  (см. § 4.2.1).