4.7. Примеры

Нам уже известно, что дискретное вейвлетное преобразование может восстанавливать изображения, если известно малое число коэффициентов преобразования. Первый пример этого параграфа иллюстрирует такое важное свойство, как способность реконструировать сильно огрубленные изображения, но без внесения артефактов, в которых обнулена значительная часть коэффициентов преобразования с помощью грубого квантования. Другие преобразования, особенно это касается DCT, способны вносить дополнительные артефакты в сжатый образ. Это свойство DWT делает его идеальным, например, в таких приложениях, как при сжатии отпечатков пальцев [Salomon 2000].

В этом примере используются функции fwt2 и iwt2 из рис. 4.27 и 4.28 для размытия или затуманивания изображения. Идея заключается в вычислении 4 шагов поддиапазонного преобразования образа (то есть, остановиться на 13 подуровнях), после чего приравнять большинство коэффициентов преобразования к нулю и грубо квантовать некоторые из оставшихся коэффициентов. Все это, конечно, означает потерю значительной доли информации и несовершенное восстановление данного изображения. При этом важно, что сжатый образ представляет собой размытие (затуманивание) исходного изображения, а не огрубление его и внесение дополнительных артефактов.

Рис. 4.29. Размытие, как результат грубого квантования.

На рис. 4.29 показан результат размытия изображения «Lena». На рис. 4.29а и 4.29Ь изображены, соответственно, логарифмическое дерево мультиразрешения и структура поддиапазонов образа.

148	141	137	124	101	104	105	103	98	89	100	136
156	173	175	176	179	171	152	116	80	82	92	99
103	102	101	100	100	102	106	104	112	139	155	149
139	107	90	126	90	65	65	93	62	87	61	84
48	64	42	75	72	35	42	53	73	45	58	130
156	176	185	196	167	185	178	121	113	126	113	122
133	109	106	92	91	133	162	165	174	189	193	190
190	167	120	97	92	106	103	81	55	43	60	150
126	55	61	65	61	50	52	53	52	79	135	132
147	163	161	158	157	157	156	156	156	158	159	156
155	154	155	155	157	157	154	150

(a)

117.95	-10.38	-5.99	-0.19	-11.64	12.6	-5.95	4.15
-2.57	6.61	-17.08	-0.50	7.88	-15.53	4.10	-10.80
-5.29	2.94	-0.63	5.42	-2.39	0.53	-5.96	2.67
-6.4	9.71	-5.43	0.56	-0.13	0.83	-0.02	1.17
-1.38	-2.68	1.92	3.14	-3.71	0.62	-0.02	-0.04
-1.41	-2.37	0.08	-1.62	-1.03	-3.50	2.52	2.81
-1.68	1.41	-1.79	1.11	3.55	-0.24	-7.44	0.28
-0.49	2.56	1.98	-0.00	0.10	-0.17	0.42	0.65
0.35	-1.00	0.15	0.21	-1.30	0.31	0.21	0.45
0.85	-1.62	0.04	0.25	0	-0.10	0.23	-0.93
1.06	0.98	-2.43	0.35	-1.48	-1.72	-1.51	-1.54
-1.91	1.86	-0.67	1.95	-2.99	0.78	0.04	-1.55
2.42	1.46	0.64	1.47	0.23	-1.98	1.26	0.32
0.42	0.95	-0.75	-1.02	1.01	-0.55	-3.45	3.31
-0.80	0.39	-0.11	-1.17	2.19	-0.25	0.25	-0.07
-0.03	0.09	0.18	-0.02	0.02	0.06	0.08	0.19

(b)

117.95	-9.68	-16.44	1.31	-20.81	3.31	14.37	29.44
-6.63	8.38	-20.56	39.38	10.44	-31.50	-14.25	1.13
7.75	22.13	4.25	-13.88	-24.37	21.50	24.00	9.25
0.13	11.38	-22.75	-28.88	0.38	-0.38	1.25	0.13
7.25	13.25	15.00	1.00	-1.75	11.00	-6.50	-25.75
-9.00	-5.00	6.50	35.00	4.75	3.50	21.50	-28.00
7.25	13.75	3.75	1.50	-6.50	34.00	-10.75	2.25
1.25	0.50	0.50	-0.25	1.50	-0.25	-1.00	2.50
14.50	-9.00	3.50	28.50	4.00	-6.50	6.50	4.50
-5.50	12.00	1.50	7.00	0.50	-21.00	-14.50	-1.50
-4.50	7.50	-2.00	1.50	0	11.50	23.50	11.50
2.50	-7.00	1.50	11.00	13.00	6.00	-8.50	-45.00
12.00	35.50	-3.00	-2.00	2.00	5.50	1.00	-0.50
0.50	-13.50	-28.00	1.50	-7.50	-8.00	1.00	1.50
0.50	0	0.50	0	0	-1.00	0.50	1.50
0.50	0.50	-0.50	0	1.00	0	1.50	2.00

(c)

Табл. 4.30. Преобразования Добеши и Хаара средней строки образа «Lena»

На рис. 4.29с приведен результат квантования. Коэффициенты преобразования поддиапазонов 5-7 были разделены на 2, а все коэффициенты поддиапазонов 8-13 были просто стерты. Прежде всего, большая часть изображения 4.29с выглядит равномерно черным (то есть, с нулевыми пикселами), однако более тщательное визуальное изучение обнаружит много ненулевых коэффициентов в поддиапазонах 5-7. Можно сказать, что размытое изображение на рис. 4.29d было получено при использовании всех коэффициентов поддиапазонов 1-4 (1/64 от общего числа коэффициентов преобразования) и половины коэффициентов поддиапазонов 5-7 (половины от 3/64, то есть, 3/128). Таким образом, изображение было восстановлено при использовании примерно  или 3.9% от общего числа коэффициентов преобразования. В этих вычислениях использовался вейвлет Добеши D8. Я призываю читателей поупражняться с этой программой и оценить достоинства этого и других фильтров.

Рис. 4.31. Программы для вычисления табл. 4.30.

Второй пример демонстрирует преимущества фильтра Добеши D4 по сравнению с простейшим фильтром Хаара, основанном на взятии средних и разностей, если сравнивать концентрацию энергии образов.

В табл. 4.30а приведены значения 128 пикселов, которые образуют строку 64 (среднюю линию) полутонового изображения «Lena» размера 128х128. В табл. 4.30b и 4.30с перечислены, соответственно, коэффициенты вейвлетного преобразования Добеши D4 и преобразования Хаара для этих данных. Первый коэффициент обоих преобразований одинаковый, но все остальные 127 коэффициентов, в среднем, меньше у преобразования D8. Это указывает на то, что фильтр D8 лучше концентрирует энергию образа. Среднее абсолютных величин этих 127 коэффициентов для D8 равно 2.1790, в то время как для фильтра Хаара эта величина равна 9.8446, то есть почти в 4.5 раза больше. Программы вычисления таблиц 4.30b и 4.30с даны на рис. 4.31. Отметим, что первая программа использует пакет WaveletTransform.m системы Matematica, разработанный Алистаром Роу и Полем Эботом, который размещен по адресу [Alistar, Abbott 01].