20. Отношение подобия

Отношение подобия, или нечетким отношением эквивалентности, называется нечеткое бинарное отношение, обладающее свойствами: 1) транзитивности [см. (16.9)]; 2) рефлексивности [см. (16.7)]; 3) симметричности [см. (16.6)]. Очевидно, что это предпорядок.

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим отношение, представленное на рис. 20.1. Можно непосредственно убедиться, что оно рефлексивно и симметрично. Для проверки транзитивности достаточно подсчитать . Тогда согласно (19.9) должны иметь

.                    (20.1)

Рис. 20.1.

Пример 2 (рис. 20.2). Если положить , то имеем отношение подобия.

Рис. 20.2.

Пример 3 (рис. 20.3). Если положить

,             (20.2)

то это отношение подобия, определенное на бесконечном множестве .

Рис. 20.3.

Пример 4. Нечеткое отношение , где , определяемое функцией принадлежности

               (20.3)

есть отношение подобия, как это читателю предлагается проверить в упражнениях (см. также § 29).

Теорема 1. Пусть  - отношение подобия. Пусть также , ,  - три элемента множества . Положим

              (20.4)

Тогда

, или , или .                  (20.5)

Другими словами, из этих трех величин ,  и  по крайней мере две величины равны друг другу, а третья больше двух остальных.

Доказательство. Итак, по нашей гипотезе имеем

,                    (20.6)

,                    (20.7)

.                    (20.8)

Предположим, что

,                   (20.9)

тогда соотношения (20.6) и (20.7) удовлетворяются, а (20.8) - нет, и если положить , то уже удовлетворяются все три соотношения.

Предположим, что

.                   (20.10)

Тогда (20.6) и (20.8) удовлетворяются, а (20.7) - нет, и если положить , то удовлетворяются все три соотношения.

Далее, если ни (20.9), ни (20.10) не выполняются, то выполняется соотношение

.                   (20.11)

Аналогично можно показать, что не может быть ни , ни . Однако справедливо соотношение

.                   (20.12)

Аналогично можно показать, что не может иметь место ни , ни , однако справедливо соотношение

.                   (20.13)

Таким образом, необходимо, чтобы всегда по крайней мере две из этих величин были равны.

Теперь неравенства (20.6)-(20.8) дают нам:

если ,

                    (20.14)

если ,

                    (20.15)

если ,

                    (20.16)